[論文レビュー] Derivation of Nonlinear Schrödinger Equation

Xiang-Yao Wu, B. Zhang+6 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2011

Nonlinear Photonic Systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、シュレーディンガー場のラグランジアン密度に高次項を加えることで、非線形シュレーディンガー方程式を導出し、自然にグロス＝ピタエフスキー方程式および対数的非線形シュレーディンガー方程式が得られる。主な結果は、非線形項がプランクスケールの抑制を受けるため、通常の条件下では量子系における非線形性が無視できるほど極めて弱いことである。

ABSTRACT

We propose some nonlinear Schrödinger equations by adding some higher order terms to the Lagrangian density of Schrödinger field, and obtain the Gross-Pitaevskii (GP) equation and the logarithmic form equation naturally. In addition, we prove the coefficient of nonlinear term is very small, i.e., the nonlinearity of Schrödinger equation is weak.

研究の動機と目的

• 高次ラグランジアン項を用いた場の理論的枠組みにおいて、非線形シュレーディンガー方程式の起源を探索すること。
• 整合的な変分原理からグロス＝ピタエフスキー方程式および対数的非線形シュレーディンガー方程式を導出すること。
• このような方程式における非線形性の強さを評価し、観測的に有意であるかどうかを判断すること。
• 凝縮系および非線形物理学に関連する、量子場における弱い非線形性の理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 標準的なシュレーディンガー場のラグランジアン密度に、$(\psi^*\psi)^m$ 形式の高次項を加える。
• 修正されたラグランジアン密度にオイラー＝ラグランジュ方程式を適用し、対応する場の方程式を導出する。
• 次元解析を用いて結合定数を基本定数（$\hbar$, $m$, $c$）の関数として表現し、非線形性の大きさを評価する。
• 導出された方程式を既知の形態（m=2 の場合がGP、m=1 で対数項がある場合）と比較する。
• 結合定数の次元を分析し、$\hbar^3/(m^2c)$ や $\hbar^6/(m^5c^4)$ のべき乗によって抑制されていること、つまり非線形性が弱いことを示す。
• 適切なパrameter選択下で、導出された方程式が標準的なGPおよび対数的形態に還元されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次項をシュレーディンガー場のラグランジアンに加えることで、グロス＝ピタエフスキー方程式を根本的なラグランジアンから導出可能か？
• RQ2 対数的相互作用項を含む類似の変分原理から、対数的非線形シュレーディンガー方程式が出現するか？
• RQ3 このような導出された方程式における非線形項の係数はどの程度大きく、観測的制約と整合的か？
• RQ4 高次項を含めた場合に、シュレーディンガー方程式における非線形性の物理的起源と大きさは何か？
• RQ5 導出された非線形方程式は、量子場理論および第二量子化の原則と整合的か？

主な発見

• グロス＝ピタエフスキー方程式は、高次ラグランジアン項 $(\psi^*\psi)^2$ からの一般化非線形シュレーディンガー方程式の特殊ケース（m=2）として導出される。
• 対数的非線形シュレーディンガー方程式は、$\psi^*\psi \ln(\psi^*\psi)$ に比例するラグランジアン項から自然に出現する。
• m=2 の場合の結合定数は $e = g \hbar^3 / (m^2 c)$ であり、$g$ は無次元である。非線形項は $\hbar^3 / (m^2 c)$ によって抑制される。
• m=3 の場合、結合定数は $e = g' \hbar^6 / (m^5 c^4)$ となり、$\hbar$ のより高いべき乗によって非線形性がさらに抑制される。
• 非線形項は極めて小さく、$\hbar^3 / (m^2 c) \ll 1$ のオーダーであるため、物理系におけるシュレーディンガー方程式の非線形性は弱いことが示される。
• 導出された方程式は、既知のモデル（GPおよび対数的）を特別な場合として含み、既存の非線形量子場理論と整合的であることを確認する。