[論文レビュー] Derivation of the Kolmogorov-Zakharov equation from the resonant-averaged stochastic NLS equation

Sergei Kuksin, Alberto Maiocchi|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、弱非線形シュレーディンガー方程式に確率的外力が作用する系に対して、二重極限手続きを用いてコルモゴロフ＝ザハロフ（KZ）運動方程式を厳密に導出する。まず非線形項と外力をゼロに近づけながら時間スケーリングを行い、次に系のサイズを無限大に近づける。主な結果は、標準的な弱い乱流仮定の下で、KZスペクトルが定常解として出現することであり、これは次元と散逸特性に依存する明示的なスケーリング指数を持つべき乗則的エネルギー分布を確認するものである。

ABSTRACT

We suggest a new derivation of a kinetic equation of Kolmogorov-Zakharov (KZ) type for the spectrum of the weakly nonlinear Schrödinger equation with stochastic forcing. The kynetic equation is obtained as a result of a double limiting procedure. Firstly, we consider the equation on a finite box with periodic boundary conditions and send the size of the nonlinearity and of the forcing to zero, while the time is correspondingly rescaled; then, the size of the box is sent to infinity (with a suitable rescaling of the solution). We report here the results of the first limiting procedure, analyzed with full rigour in arXiv:1311.6793, and show how the second limit leads to a kinetic equation for the spectrum, if some further hypotheses (commonly employed in the weak turbulence theory) are accepted. Finally we show how to derive from these equations the KZ spectra.

研究の動機と目的

• 弱非線形シュレーディンガー方程式に確率的外力が作用する系に対して、コルモゴロフ＝ザハロフ（KZ）運動方程式の数学的厳密な導出を提供すること。
• 弱い非線形性と大きな系サイズの二重極限手続きを通じて、共振平均化された確率的NLS方程式とKZ方程式との関係を確立すること。
• 弱い乱流理論の標準的仮定の下で、定常的KZスペクトル（べき乗則的エネルギー分布）の存在を検証すること。
• 最初の極限で得られる有効方程式から、角度方向の統合とスケーリングのアンサンブルを用いてKZスペクトルがどのように出現するかを示すこと。

提案手法

• Khasminskiiの精神に従い、共振平均化による確率的平均化を適用し、長時間スケールでのスペクトルを記述する有効方程式を導出する。この際、非線形相互作用の共振項のみを保持する。
• 二重極限を実行する：まず非線形項と外力をゼロに近づけながら時間スケーリングを行い、次に系サイズ$L \to \infty$とするが、適切な解のスケーリングを伴う。
• 有効方程式を角度変数で統合し、エネルギースペクトル$n_k$に対する運動方程式を導出する。この運動方程式には、共振条件を強制するデルタ関数を含む衝突積分が現れる。
• 三重積分相互作用テンソル$\mathcal{T}^{\mathbf{k},\mathbf{k}_3}_{\mathbf{k}_1,\mathbf{k}_2}$の対称性を用いて衝突積分を簡略化し、$\dot{n}_k$の閉じた形の方程式を導出する。
• べき乗則のアンサンブル$n_k \propto k^\nu$を適用し、変数変換を施して運動方程式の定常解を解析する。
• 運動方程式の積分をゼロに設定することで定常解を特定し、同次性および共振制約を用いて指数$\nu$に関する条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重極限手続きを用いて、共振平均化された確率的NLS方程式からコルモゴロフ＝ザハロフ方程式を数学的に厳密に導出可能か？
• RQ2 系の散逸および非線形性にどのような条件が成立すれば、大系サイズ極限においてKZスペクトルが出現するか？
• RQ3 相互作用テンソル$\mathcal{T}^{\mathbf{k},\mathbf{k}_3}_{\mathbf{k}_1,\mathbf{k}_2}$のスケーリング性質が、定常エネルギースペクトルの形にどのように影響を与えるか？
• RQ4 共振平均化方程式から導出された運動方程式が、どのような仮定の下で既知のKZスペクトルと一致するべき乗則解をもたらすか？

主な発見

• コルモゴロフ＝ザハロフスペクトルは、二重極限$\varepsilon, \nu \to 0$および$L \to \infty$において、共振平均化された確率的NLS方程式から導出された運動方程式の定常解として出現する。
• 非自明なべき乗則的定常スペクトルが二つ得られた：$n_k \propto k^{-(m+3d-2)/3}$および$n_k \propto k^{-(m+3d)/3}$、ここで$m$は散逸のスケーリングを特徴づけ、$d$は空間次元を表す。
• 弱い乱流と等方性の仮定の下で、インertial領域におけるエネルギーの定常的フラックスが存在し、エネルギーのキャスケードが発生することが導出された。
• 運動方程式の積分をゼロに設定し、べき乗則のアンサンブルを適用し、相互作用テンソルの同次性を活用することでKZスペクトルが得られた。
• 結果は、弱い乱流理論の標準的予測を裏付け、$m=0$かつ$d=2,3$のとき、2次元ではよく知られた$k^{-2}$スペクトル、3次元では$k^{-3}$スペクトルが得られることを確認した。
• 非ゼロの$m$（非一様な散逸）が存在する場合、KZスペクトルの指数が変化し、散逸が標準的なスケーリングを破り、異なるべき乗則的減衰を引き起こすことが示された。