[論文レビュー] Derivative-based global sensitivity measures: general links with Sobol' indices and numerical tests

Matieyendou Lamboni, Bertrand Iooss+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2012

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ボルツマン分布および対数凸確率測度に対して、導出に基づくグローバル感度指標（DGSM）と全Sobol’係数の一般不等式を確立し、DGSMが全Sobol’係数の計算的に効率的な上界を提供することを示している。提案された上界、記号で表されるΥⱼは、特に分散に基づく手法が高次元モデルでは費用がかかりすぎる場合に、モデル評価回数を著しく削減して影響力のある入力変数をスクリーニングするのに有効である。

ABSTRACT

The estimation of variance-based importance measures (called Sobol' indices) of the input variables of a numerical model can require a large number of model evaluations. It turns to be unacceptable for high-dimensional model involving a large number of input variables (typically more than ten). Recently, Sobol and Kucherenko have proposed the Derivative-based Global Sensitivity Measures (DGSM), defined as the integral of the squared derivatives of the model output, showing that it can help to solve the problem of dimensionality in some cases. We provide a general inequality link between DGSM and total Sobol' indices for input variables belonging to the class of Boltzmann probability measures, thus extending the previous results of Sobol and Kucherenko for uniform and normal measures. The special case of log-concave measures is also described. This link provides a DGSM-based maximal bound for the total Sobol indices. Numerical tests show the performance of the bound and its usefulness in practice.

研究の動機と目的

• 高次元モデルにおける入力変数が多数存在する状況で、分散に基づく感度分析の計算負荷を軽減すること。
• 従来の一様分布および正規分布に限られていた導出に基づく感度指標（DGSM）とSobol’係数の理論的関連性を、より広い確率測度のクラスへと拡張すること。
• 全Sobol’係数の信頼できる上界を提供する計算的に効率的なスクリーニング手法をDGSMを用いて開発すること。
• 全分散に基づく解析が計算コストが高いため実行不可能な状況において、Υⱼの実用的有用性を検証すること。

提案手法

• ボルツマン確率測度の下で、Poincaré型不等式を用いてDGSMと全Sobol’係数の間の一般不等式を導出する。
• 一様分布、正規分布、ラプラス分布を含む対数凸測度のクラスへ理論的関連性を拡張する。
• 粗いDGSMの定数倍として定義される新たな感度指標Υⱼを導入し、全Sobol’係数の最大上界を提供する。
• 2つのテストモデル（二次関数および洪水モデル）を用いた数値シミュレーションにより、DGSMに基づく指標と古典的Sobol’係数を比較する。
• 入力変数の単位が異なる場合の導出に基づく指標の信頼性を向上させるために、正規化および重み付け技術を適用する。
• DGSMと一次Sobol’係数を組み合わせ、非影響的変数の検出および相互作用効果の評価を可能にする二段階の感度分析フレームワークを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様分布および正規分布を超えるより広いクラスの確率分布に対して、DGSMと全Sobol’係数の間の理論的不等式を確立できるか？
• RQ2 DGSMに基づく上界Υⱼは、実際の全Sobol’係数と比較して、正確性および計算効率の点でどの程度優れているか？
• RQ3 全分散に基づく解析が計算的に不可能な高次元モデルにおいて、Υⱼは影響力のある入力変数を信頼性高く特定できるか？
• RQ4 変数の単位および分布の仮定が、導出に基づく感度指標の性能に与える影響は何か？
• RQ5 DGSMを一次Sobol’係数と効果的に組み合わせることで、実用的なグローバル感度分析をどのように改善できるか？

主な発見

• ボルツマン確率測度に対して、DGSMと全Sobol’係数の間の一般不等式が確立され、従来の一様分布および正規分布に限られていた結果を拡張した。
• 対数凸測度の下でも、同じ理論的関連性が成り立つことが示され、DGSMのスクリーニングツールとしての適用範囲が広がった。
• 粗いDGSMの定数倍として定義される提案指標Υⱼは、全Sobol’係数の有効かつ計算可能な上界を提供し、効率的なスクリーニングを可能にした。
• 洪水モデルにおける数値テストでは、Υⱼが、溢水出力およびコスト出力の両方において、最も影響力のある変数（Q, Zᵥ, Hₐ, Kₛ）を正しく特定しており、非正規化された導出指標νⱼおよびτⱼを上回った。
• 全Sobol’係数推定が計算コストのため実行不可能な状況においても、Υⱼが入力変数の優先順位を的確に付与できることを確認し、実用的有用性が裏付けられた。
• DGSMと一次Sobol’係数の組み合わせにより、非影響的変数の効率的同定および相互作用効果の評価が可能となり、二段階感度分析フレームワークの実現が可能になった。