[論文レビュー] Derivatives and the Role of the Drinfel'd Twist in Noncommutative String Theory

Paul Watts|ArXiv.org|Mar 26, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、非可換場の理論を弦理論で定義する際、Drinfel'd twist が R-行列よりもより根本的で一般的な枠組みを提供することを確立している。Drinfel'd twist を用いることで、著者らは、基礎となるホップ代数が余コルトでない場合でも、非可換代数上の微分作用素——ゲージ理論に不可欠なもの——を一貫して定義できることを示し、特にゲージ固定条件下では、低エネルギー有効作用を R-行列ではなく twist に基づいて定式化すべきであると主張している。

ABSTRACT

We consider the derivatives which appear in the context of noncommutative string theory. First, we identify the correct derivations to use when the underlying structure of the theory is a quasitriangular Hopf algebra. Then we show that this is a specific case of a more general structure utilising the Drinfel'd twist. We go on to present reasons as to why we feel that the low-energy effective action, when written in terms of the original commuting coordinates, should explicitly exhibit this twisting.

研究の動機と目的

• 非可換弦理論における R-行列を用いて構成された非可換代数への一貫した微分作用素を定義する問題を解決すること。
• 非可換場の理論で標準的に用いられる偏微分が、R-行列ではなく Drinfel'd twist を通じて解釈される場合に一貫していることを示すこと。
• 可換座標での低エネルギー有効作用を、一般性とゲージ不変性との一貫性を考慮して、R-行列ではなく Drinfel'd twist を用いて定式化すべきであることを主張すること。
• 定数 B フィールドの存在下でゲージ固定条件が成立する際、Drinfel'd twist が自然に生じ、Ward 恒等式と関連することを示すこと。

提案手法

• 微分作用素のホップ代数を変形するための Drinfel'd twist F を用い、非可換積の結合的性質と変形代数への一貫した作用を保証すること。
• 非可換積と整合するように、非可換代数 H^* への作用と余積を持つ、変形されたホップ代数 H^F を構成すること。
• H が可換（例えば R^{p+1} 上の関数）である場合、Drinfel'd twist F は R-行列の構成に縮退し、既知の非可換積を保存することを証明すること。
• Drinfel'd twist 条件（F が1つの式を満たす）が、R-行列に必要な2つの条件よりも一般的で物理的に自然であることを示し、特にゲージ固定条件下でその優位性を強調すること。
• H と H^* の双対性を用いて、H^* が H に作用することにより微分作用素を定義し、F を通じて変形構造に拡張すること。
• B フィールドのゲージ不変性から生じる Ward 恒等式が、自然に Drinfel'd twist 条件に等価であることを主張し、R-行列法よりも物理的に優れた選択であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R-行列変形によって生じる非可換代数（例えばホップ代数でないもの）に対して、微分作用素を一貫して定義できるか？
• RQ2 非可換場の理論における R-行列アプローチは、双対代数が余コルトでなければならないという制約により、本質的に制限されているか？
• RQ3 Drinfel'd twist は、非可換弦理論において R-行列よりもより一般的で物理的に一貫した枠組みを提供するか？
• RQ4 可換座標での低エネルギー有効作用を、R-行列ではなく Drinfel'd twist を用いて自然に表現できるか？
• RQ5 B フィールドのゲージ固定において、Drinfel'd twist 条件に物理的起源があるか？

主な発見

• Drinfel'd twist F は、基礎となるホップ代数が余コルトでない場合でも、非可換代数上の微分作用素を一貫して定義する方法を提供し、R-行列法の主要な限界を克服する。
• 双対代数 H^* が余コルトである場合（例えば R^{p+1} 上の関数の場合）、Drinfel'd twist F は R-行列の構成に縮退し、既知の非可換積が回復される。
• Drinfel'd twist 条件（F が1つの式を満たす）は、R-行列に必要な2つの条件よりも一般的で物理的に自然であることが示され、特にゲージ固定条件下でその優位性が顕著になる。
• B フィールドのゲージ不変性の要請から生じる Ward 恒等式は、Drinfel'd twist 条件と等価であり、この twist が恣意的な選択ではなく、ゲージ整合性の結果であることを示唆する。
• 可換座標での低エネルギー有効作用は、余コルト性の仮定をせず、可換から非可換理論への連続的変形を許容するため、Drinfel'd twist F を用いて定式化すべきである。
• θ=0（B フィールドが消える）における twist F=1⊗1 は、Drinfel'd twist 条件を満たし、可換理論への滑らかな極限を保証するが、これは R-行列では非余コルトの場合に保証されない。