[論文レビュー] Noncommutative Geometry and Matrix Theory: Compactification on Tori

Alain Connes, Michael R. Douglas+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 1997

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 6被引用数 1,145

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何学を用いて定式化された非可換トーラス上のマトリックス理論のコンpactificationが、定常なバックグラウンド3形式場を持つM理論のコンpactificationの新しい解をもたらすと提案している。Moyal変形を用いたゲージ理論への一般化により、定曲率接続のモジュライ空間における $SL(2,\mathbb{Z}) \times SL(2,\mathbb{Z})$ duality 対称性を同定し、非可換幾何学とM理論、およびタイプII弦理論におけるT-duality を結びつける。

ABSTRACT

We study toroidal compactification of Matrix theory, using ideas and results of non-commutative geometry. We generalize this to compactification on the noncommutative torus, explain the classification of these backgrounds, and argue that they correspond in supergravity to tori with constant background three-form tensor field. The paper includes an introduction for mathematicians to the IKKT formulation of Matrix theory and its relation to the BFSS Matrix theory.

研究の動機と目的

• マトリックス理論のトーラスコンpactificationを、可換トーラス背景を超えて非可換幾何学を用いて一般化すること。
• 非可換トーラスコンpactificationと定常なバックグラウンド3形式場を持つ超重力解との間の対応を確立すること。
• 非可換トーラス上の定曲率接続のモジュライ空間が、通常のコンpactificationと同様にBFSSモデルにおける時空を記述することを示すこと。
• 非可換トーラスコンpactificationに、タイプII弦理論におけるT-duality と関連する新しい $SL(2,\mathbb{Z}) \times SL(2,\mathbb{Z})$ duality 対称性が存在することを同定すること。
• 非可換コンpactificationが、光的円を伴い、非ゼロの3形式フラックスを持つトーラスにM理論をコンpactifyした結果として生じることを物理的解釈すること。

提案手法

• 10個のヘルミート行列 $X_i$ と16個のワイルスピンルール $\Psi^\alpha$ を含む、不変内積とディラック行列を用いた、10次元のユークリッド的符号のIKKTマトリックスモデルを、正則作用関数 functional で定式化する。
• ポisson括弧の代わりにMoyal括弧を用いたゲージ理論ラグランジアンの変形を導入し、2形式パラメータ $\theta_{ij}$ を介して非可換性を符号化する。
• トーラスコンpactificationの定義的関係が、非可換トーラス上の接続の定義と等価であることを特定し、非可換幾何学とマトリックス理論の間の明確な関係を確立する。
• 非可換トーラスから、奇数コホロジー（時空）と偶数コホロジー（双対モジュライ空間）のそれぞれに対応する2つの可換トーラスを構成し、それぞれに $SL(2,\mathbb{Z})$ の作用を導入する。
• 非可換トーラスコンpactificationが、M理論がトーラスにコンpactifyされ、定常なバックグラウンド3形式ポテンシャル $C_{ij-}$ を持つ場合に対応することを物理的解釈として導出する。特に、1つの次元が光的である場合に注目する。
• BPS質量公式と弦の世界シート記述を用いて、提案された $SL(2,\mathbb{Z}) \times SL(2,\mathbb{Z})$ 対称性がT-duality および超対称性と整合していることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マトリックス理論のトーラスコンpactificationを、非可換幾何学を用いて可換トーラス背景を超えてどのように一般化できるか？
• RQ2 非可換トーラスコンpactificationは、定常な3形式フラックスを持つM理論および超重力的背景として、どのように物理的に解釈できるか？
• RQ3 非可換トーラスコンpactificationは $SL(2,\mathbb{Z}) \times SL(2,\mathbb{Z})$ 対称性を示すか？ もし示すならば、それはタイプII弦理論におけるT-duality とどのように関係するか？
• RQ4 非可換トーラス上の定曲率接続のモジュライ空間は、BFSSマトリックスモデルにおける時空と同一視できるか？
• RQ5 2形式パラメータ $\theta_{ij}$ はゲージ理論をどのように変形し、M理論におけるバックグラウンド3形式場に対応するか？

主な発見

• BFSS/IKKTモデルにおけるトーラスコンpactificationの定義的関係は、数学的に非可換トーラス上の接続の定義と等価であり、マトリックスモデルと非可換幾何学との間の明確な関係を確立する。
• 非可換トーラス上の定曲率接続のモジュライ空間（奇数コホロジーに関連）は、コンpact化されたマトリックス理論における時空を担う。これは、標準的なトーラスコンpactificationを一般化する。
• 非可換トーラスのティッヒミュラー空間には、2つの独立した $SL(2,\mathbb{Z})$ 対称性が作用する：1つは奇数コホロジー（時空）に、もう1つは偶数コホロジー（双対モジュライ空間）に作用し、結果として $SL(2,\mathbb{Z}) \times SL(2,\mathbb{Z})$ 対称性が得られる。
• 非可換コンpactificationは、定常なバックグラウンド3形式ポテンシャル $C_{ij-}$ を持つトーラスにM理論をコンpactifyした場合に対応し、特に1次元が光的である場合に成立する。この背景は超対称性と整合的である。
• BPS質量公式と弦の世界シート記述は、$SL(2,\mathbb{Z}) \times SL(2,\mathbb{Z})$ 対称性を尊重しており、この対称性がマトリックス理論フレームワーク内で妥当であることを物理的根拠として提供する。
• 本論文は、非可換トーラス上のゲージ理論が、変形されたマトリックス理論の正しい記述であると予想しており、大$N$極限および双対性対称性を研究するための明確で摂動的に定義されたフレームワークを提供する。