[論文レビュー] Derived complex analytic geometry I: GAGA theorems

Mauro Porta|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、導来複素解析幾何における導来解析化関手を構築し、局所有几乎有限生成である導来複素解析空間に対して、標準的写像が導来平坦であることを証明することによって、導来複素解析幾何における導来GAGA定理を確立する。中心的貢献は、解析的・代数的形式モジュライ問題の同値性を示す導来版GAGA原理の確立であり、微分 graded リー代数によって支配される変形理論への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we expand the foundations of derived complex analytic geometry introduced in [DAG-IX] by J. Lurie. We start by studying the analytification functor and its properties. In particular, we prove that for a derived complex scheme locally almost of finite presentation $X$, the canonical map $X^{\mathrm{an}} o X$ is flat in the derived sense. Next, we provide a comparison result relating derived complex analytic spaces to geometric stacks. Using these results and building on the previous work arXiv:1412.5166, we prove a derived version of the GAGA theorems. As an application, we prove that the infinitesimal deformation theory of a derived complex analytic moduli problem is governed by a differential graded Lie algebra.

研究の動機と目的

• 導来複素スキームに対する導来解析化関手を構築することにより、導来複素解析幾何を拡張すること。
• 複素幾何における解析的・代数的モジュライ問題を関連付ける導来版GAGA原理を確立すること。
• 導来複素解析モジュライ問題の微小変形理論が微分 graded リー代数によって支配されることを示すこと。
• 関手的かつスタック理論的枠組みを、ポイント関手と前幾何学を用いて導来解析空間に提供すること。

提案手法

• 導来シュタイン空間上の $\tau_{\text{an}}$-トポスを用いて、導来解析空間をポイント関手のアプローチで記述する。
• 複素数体 $\text{Spec}(\bbC)$ 上で局所有几乎有限生成である導来デリーニュ＝ムーディー スタック $X$ に対して、導来解析化関手 $X \to X^{\text{an}}$ を導入する。
• 解析的環と前幾何学の性質を用いて、$(\text{X}^{\text{an}}, \text{O}_{X^{\text{an}}}^{\text{alg}}) \to (\text{X}, \text{O}_X)$ の標準的写像が導来平坦であることを証明する。
• 導来解析アーティンスタックに対してグローテルの定理を適用し、導来設定における整合性と適切な基底変換を確立する。
• $\bbinfty$-トポスと解析的環の $\bbinfty$-圏の理論を用いて、導来解析的構造と代数的構造を比較する。
• $n$-切断関手と幾何学の $n$-スタブを用いて、導来と古典的解析的スタックを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所有几乎有限生成である導来複素解析空間に対して、導来解析化関手は導来平坦性を保つか。
• RQ2 導来解析アーティンスタックに対して、導来版GAGA定理を確立できるか。
• RQ3 導来複素解析モジュライ問題の変形理論は微分 graded リー代数によって支配されるか。
• RQ4 導来解析空間はどの程度、導来シュタイン空間の $\tau_{\text{an}}$-トポスに完全忠実に埋め込まれるか。
• RQ5 解析的環の $n$-切断が、対応する古典的解析的構造とどのように関係するか。

主な発見

• 複素数体 $\bbC$ 上で局所有几乎有限生成である導来デリーニュ＝ムーディー スタックに対して、導来解析化関手 $X \to X^{\text{an}}$ が存在し、導来平坦である。
• $(\text{X}^{\text{an}}, \text{O}_{X^{\text{an}}}^{\text{alg}}) \to (\text{X}, \text{O}_X)$ の標準的写像が導来平坦であり、古典的グローテル＝セルレ解析化の一般化である。
• 導来GAGA定理が成立する：導来解析アーティンスタックの固有射に対して、高次直接像は基底変換と可換であり、かつ整合的である。
• 解析的形式モジュライ問題と代数的形式モジュライ問題は同値であり、導来GAGA対応を確立する。
• 導来解析モジュライ問題の局所的構造は微分 graded リー代数によって支配され、非アーベルホッジ理論における重要な予言を裏付ける。
• 導来シュタイン空間の $\tau_{\text{an}}$-トポスは、導来解析空間の $\bbinfty$-圏に完全忠実に埋め込まれ、$n$-局所的および $n$-切断対象で同値である。