[論文レビュー] Derived critical loci I - Basics

Gabriele Vezzosi|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、導来代数幾何における導来臨界軌跡の基礎的枠組みを提示し、それらに自然な $(-1)$-シンプレクティック構造と関連する $BV_{\to\to}$、$G_{\to\to}$、$E_1$-変形構造を確立する。導来臨界軌跡、特にシンプレクティック多様体内のラグランジュ部分多様体の導来交叉として得られるもの—は、自然な $(-1)$-シンプレクティック形式を備えており、これによりその導来圏の $E_{-1}$-モノイダル構造による量子化が可能になる。

ABSTRACT

We will quickly explore the derived geometry of zero loci of sections of vector bundles, with particular emphasis on derived critical loci. In particular we will single out many of the derived geometric structures carried by derived critical loci: the homotopy Batalin-Vilkovisky structure, the action of the 2-monoid of the self-intersection of the zero section, and the derived symplectic structure of degree -1, and show how this structure exists, more generally, on derived lagrangian intersections inside a symplectic manifold. These are just applications of a small part of a much larger project - joint with Pantev, Toën and Vaquié - investigating quantization of derived moduli spaces.

研究の動機と目的

• 導来臨界軌跡が持ち得る幾何的およびホモトピー的構造、特にラグランジュ部分多様体の導来交叉の文脈において、それらを確立すること。
• 閉1次形式の導来零点として生じる導来臨界軌跡上の自然な $(-1)$-シンプレクティック構造を定義し、特徴づけること。
• これらの構造を $BV_{\to\to}$、$G_{\to\to}$、周期的導来圏の $E_1$-変形といった高階代数的不変量と結びつけること。
• Costello-Gwilliamの形式的モジュライ問題の設定を回復する導来臨界軌跡上のグローバル幾何的構造のロードマップを提示すること。
• 対称的障害理論が、基礎となるスタックの導来拡張上の $(-1)$-シンプレクティック形式の上への持ち上げとして生じることを示し、ホッホシュタイナーコホホロジーおよび巡回コホホロジーと結びつけること。

提案手法

• 射影的 $R$-代数 $\mathrm{K}(R;P) = S \otimes_R \bigwedge^\bullet P^\vee$ を用い、$P$ に属する切断 $s$ による縮約によって誘導される微分を備えた、$\mathbf{cdga}_S$ 内での $R$ のコーブラント解体を与える。
• 導来零点構成を適用し、$\mathrm{Crit}^h(f) = Z^h(df)$ を $T^*X$ 内での $df$ のグラフと零切断の導来交叉として導来臨界軌跡として定義する。
• 多様体 $Y$ 上のシンプレクティック形式 $\omega_0$ によって誘導される、$\mathbb{T}_Z \wedge \mathbb{T}_Z$ 上の零写像の自己ホモトピーを用いて、導来交叉 $Z = L_1 \times_X^h L_2$ 上に自然な $(-1)$-シンプレクティック形式 $\omega$ を構成する。
• $\omega$ が $\mathrm{HC}_3^-(Z)$ に持ち上がることを示し、これが閉かつ非退化であることを証明することで、導来シンプレクティック形式としての正当性を確認する。
• $\mathrm{Sym}^2(\mathbb{L}_Z) \to \mathcal{O}_Z[1]$ 障害理論を介して、導来臨界軌跡上の $BV_{\infty}$、$G_{\infty}$、および $2$-モノイド作用の整合性を確立する。
• すべての構成が特徴標数 $0$ の体 $k$ 上で行われる、$\mathbf{dSt}_k$ 内の導来スタックの形式的体系と、$[HAG\text{-}II]$ におけるモデルカテゴリ構造に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなスキーム上の関数の導来臨界軌跡に、自然な $(-1)$-シンプレクティック構造をどのように定義できるか。
• RQ2 $\mathrm{Z}^h(0)^{\bullet\bullet}$ と表される自己交叉 $2$-モノイドは、導来臨界軌跡上でどのように作用するか。また、$BV_{\infty}$ および $G_{\infty}$ 構造とどのように関係するか。
• RQ3 任意の対称的障害理論が、基礎となるスタックの導来拡張上の $(-1)$-シンプレクティック構造の切断として得られるか。
• RQ4 $L_1 \times_X^h L_2$ 上の導来シンプレクティック構造は、導来圏 $D^{\mathbb{Z}/2}(Z)$ の量子化とどのように関係するか。
• RQ5 $[\omega] \in \mathrm{HH}_3(Z)$ であるホッホシュタイナーコホホロジー類が $\mathrm{HC}_3^-(Z)$ にどのように持ち上がり、その閉性が何を意味するか。

主な発見

• 滑らかなスキーム $X$ 上の関数 $f$ の導来臨界軌跡 $\mathrm{Crit}^h(f)$ は、自然な $(-1)$-シンプレクティック構造を備えており、これは $T^*X$ 内での $df$ のグラフと零切断の導来交叉として実現される。
• この $(-1)$-シンプレクティック構造は、周期的導来圏 $D^{\mathbb{Z}/2}(\mathrm{Crit}^h(f))$ の $E_{-1}$-モノイダル dg 圏としての自然な変形を誘導する。
• $Z = L_1 \times_X^h L_2$ 上の $(-1)$-シンプレクティック形式 $\omega$ は閉かつ非退化であり、$\mathrm{HC}_3^-(Z)$ に自然に持ち上がることを確認し、導来シンプレクティック形式として正当化される。
• $BV_{\infty}$、$G_{\infty}$、および $2$-モノイド作用は、導来臨界軌跡上で整合的であり、$2$-モノイドは零切断の自己交叉を介して作用する。
• デリーニ・ムーディスタック上の任意の対称的障害理論は、基礎となるスタックの導来拡張上の $(-1)$-シンプレクティック構造の切断として得られ、より深い幾何的起源を示唆する。
• アフィンの場合、$[\omega] \in \mathrm{HH}_3(Z)$ は $\mathrm{HC}_3^-(Z)$ 内で明示的に計算可能であり、$B\mathbb{G}_a$-不変性および閉性が確認される。