[論文レビュー] Derived Fundamental Groups for Tate Motives

Markus Spitzweck|arXiv (Cornell University)|May 15, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、体上の滑らかで連結なスキームの上でのテートモチーフに対して、有理数および整数係数の混合テートモチーフを、プロアフィンな導来群スキームの完備表現としてモデル化する導来形式主義を用いて、導来基本群スキームを構成する。主な貢献は、Q 上で条件なしに、Z 上では弱化されたベイリヌーリン＝スールー消失仮説の下で条件付きに構成されたものであり、これは数体において成立し、有理モチーフ基本群に整数構造をもたらす。

ABSTRACT

We construct derived fundamental group schemes for Tate motives over connected smooth schemes over fields. We show that there exists a pro affine derived group scheme over the rationals such that its category of perfect representations models the triangulated category of rational mixed Tate motives. Under a hypothesis which is weaker than an integral version of the Beilinson-Soule vanishing conjecture we show that there is an affine derived group scheme over the integers such that its perfect representations model Tate motives with integral coefficients. The hypothesis is for example fulfilled for number fields. This generalizes previous non-derived constructions of fundamental group schemes for Tate motives with rational coefficients.

研究の動機と目的

• 体上の滑らかで連結なスキームの有理混合テートモチーフの基本群スキームを、条件なしに構成すること。
• ベイリヌーリン＝スールー予想よりも弱い消失仮説を用いて、整数係数へのこの構成の拡張を達成すること。
• 導来群スキームとプロ対象を組み合わせることで、テートモチーフの完全な三角カテゴリをモデル化する、従来の非導来構成を一般化すること。
• 特に数体において整数構造を捉えることができる幾何学的・代数的枠組みを、モチーフ基本群に対して確立すること。
• 有限係数や幾何的係数を含む、さまざまな係数系において、テートモチーフを導来群スキームの完備表現として一元的に記述すること。

提案手法

• Q や Z 上の増分アダムス次数付き dga に対してバー構成を適用し、コシンプリシャルな導来ホップ代数を生成し、これにより導来群スキームを構成する。
• 増分のエシュェット解体を適用して、その完備モジュールがテートモチーフをモデル化するコシンプリシャル代数を構築する。
• エシュェット解体の第一段階として、導来テンソル積 $\mathbb{Q} \otimes^\mathbf{L}_A \mathbb{Q}$ を用いて、基本的な代数的構造を定義する。
• 整数係数の消失仮説を弱めたもの（整数係数のベイリヌーリン＝スールー消失予想よりも弱い）に依拠することで、Z 上のアフィン導来群スキームの存在を保証する。
• E_\infty-代数上のモジュールカテゴリの表現定理を用いて、テートモチーフの三角カテゴリを導来群スキームの完備表現のカテゴリとして実現する。
• プロアフィン導来群スキームの理論を用いて、整数係数の消失仮説が成立しない場合でも、完全な三角カテゴリをモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで連結なスキームの上での有理混合テートモチーフに対して、Q 上で条件なしに導来基本群スキームを構成できるか？
• RQ2 どのような弱化されたコホモロジー的条件下で、このような構成を整数係数に拡張できるか？
• RQ3 導来群スキームの構成は、有理数の場合の古典的モチーフ基本群とどのように関係するか？
• RQ4 異なるベーススキームの導来基本群の間の写像の核の幾何的解釈は何か？
• RQ5 導来群スキームの構成は、ベイリヌーリンモチーフや有理数係数の他のモチーフカテゴリに対しても適用可能か？

主な発見

• Q 上で、その完備表現のカテゴリが有理混合テートモチーフの三角カテゴリをモデル化する、プロアフィン導来群スキームが条件なしに存在する。
• 弱化された整数係数消失仮説の下で、Z 上でその完備表現のカテゴリが整数係数のテートモチーフをモデル化するアフィン導来群スキームが存在する。
• この仮説は数体において成立するため、この構成により、それらの体における有理モチーフ基本群に自然な整数構造が得られる。
• 有限係数、例えば $\mathbb{F}_p$ 上では、ブロッハ＝カトの予想を用いて、$R'$ 上で導来基本群が構成され、$\mathsf{DMT}_{\mathrm{gm}}(k)_{R'} \simeq \mathrm{Perf}(B^\bullet)$ が成り立つ。
• $\mathbf{P}^1_k \setminus \{0,1,\infty\}$ と $k$ の導来基本群の間の写像の核は、ベース環上の $\mathbb{G}_m$ に同型な幾何的基本群として特定される。
• 数体の $S$-整数や $\mathbf{P}^1_{{\mathcal{O}}_S} \setminus \{0,1,\infty\}$ の場合、導来基本群は次数 0 に集中し、先行研究で知られているモチーフ基本群を回復する。