[論文レビュー] Homotopical and Higher Categorical Structures in Algebraic Geometry

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、セガール圏、準自由圏、$S$-圏を用いて、ホモトピー的および高次の圏的構造を代数幾何学に導入し、導来的、非有界的、そして勇敢な新代数幾何学を統一する。ホモトピー的モデル同士の推測されるクイレン同値性を確立し、高次代数幾何学およびホモトピー的文脈におけるタンナキアン双対性の枠組みを提供する。

ABSTRACT

This a slightly expended version of my habilitation thesis, which is an overview of my research activities during the last 4 years, written in a rather informal style.

研究の動機と目的

• 古典的な構造を高次の圏的およびホモトピー的設定に拡張することで、代数幾何学のホモトピー的枠組みを構築すること。
• 導来的、非有界的、そして勇敢な新代数幾何学を、共通の高次の圏的言語の下で統一すること。
• セガール圏におけるタンナキアン双対性理論を確立し、古典的タンナキアン双対性を一般化すること。
• スキマチゼーションおよびホッジ的視点を通じて、代数的多様体のホモトピー型を調査すること。
• モデル圏およびデリビャトリを用いて、ホモトピー論、高次の圏、代数幾何学の相互作用を調査すること。

提案手法

• $(∞,1)$-圏のモデルとして、セガール条件を満たす単体的空間として定義されるセガール圏を用いる。
• 等化子とテンソル積を用いて、準自由圏、完全セガール空間、$S$-圏の間の随伴を確立する。
• $S$-圏におけるコフリーファンクター（$\Gamma^*$）を用いて、$CSS$と$S$-圏の関係を関連付ける。
• セガールトポスのホモトピー型を定義し、単体的プレシャーファイバーとモデル構造を用いてその性質を研究する。
• 関手$\Pi$による$PrCat$への単体的豊かさを導入し、単体的モデル圏構造を可能にする。
• 準自由圏、完全セガール空間、$S$-圏のモデル圏の間の推測されるクイレン同値性を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的代数幾何学は、どのようにしてホモトピー的および高次の圏的構造を統合することができるか？
• RQ2 代数幾何学の文脈において、準自由圏、完全セガール空間、$S$-圏の間の明確な関係は何か？
• RQ3 タンナキアン双対性はセガール圏へ一般化可能であり、それは古典的タンナキアン双対性とどのように関係するか？
• RQ4 代数的多様体に関連付けることができるホモトピー型は何か？そしてホッジ理論とどのように関係するか？
• RQ5 セガール圏、完全セガール空間、$S$-圏のモデル圏は、$(∞,1)$-圏のクイレン同値なモデルをどの程度まで形成するか？

主な発見

• 論文は、準自由圏のモデル圏とセガール圏のモデル圏の間の推測されるクイレン同値性を提唱している。
• 完全セガール空間と$S$-圏の間のクイレン同値性を推測し、高次圏の統一的枠組みを示唆している。
• $CSS$と$S$-圏の間の随伴は、$\Gamma^*$-分解と$\Gamma$上でのテンソル積を含む等化子を介して構成され、推測されるクイレン同値性を伴う。
• 関手$\Pi$を用いて$PrCat$に単体的豊かさを導入し、圏のホモトピー的豊かさを可能にする単体的モデル圏構造を定義した。
• セガール圏におけるタンナキアン双対性が開発され、古典的結果がホモトピー的文脈に一般化された。
• 論文は、導来的、非有界的、そして勇敢な新代数幾何学を共通の高次の圏的言語の下で統一する概念的枠組みを提供した。