[論文レビュー] Derived manifolds and Kuranishi models

Dennis Borisov|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限型の導来 $C^{\infty}$-ス킴の右擬モデル構造を用いて、導来多様体のホモトピー論的枠組みを確立する。導来多様体から $d$-多様体への切り捨て函手が、ホモトピー圏上に全関手かつ本質的に全射な1-函手を誘導することを証明しているが、同型類の集合に一対一対応をもつものの、非ホモトピックな準同型が切り捨て後に等しくなる反例により、忠実でないことが示されている。

ABSTRACT

A model structure is defined on the category of derived differentiable schemes, and it is used to analyse the truncation 2-functor from derived manifolds to d-manifolds. It is proved that the induced 1-functor between the homotopy categories is full and essentially surjective, giving a bijection between the sets of equivalence classes of objects. An example is constructed, showing that this 1-functor is not faithful.

研究の動機と目的

• 有限型の導来 $C^{\infty}$-ス킴のカテゴリに右擬モデル構造を用いて、導来 $C^{\infty}$-ス킴のホモトピー論を構築すること。
• Kuranishiモデル間の線形化された準同型から生じる、導来多様体から $d$-多様体への切り捨て2-函手を分析すること。
• 切り捨て函手がカテゴリカル構造をどの程度保存するか、特に忠実性の程度を特定すること。
• ホモトピー圏間の誘導された1-函手が全関手かつ本質的に全射であるが、忠実でないことを示し、ホモトピー的に非自明な情報が失われることを明らかにすること。

提案手法

• 有限型の導来 $C^{\infty}$-ス킴のカテゴリに右擬モデルカテゴリ構造を構築し、ホモトピー下付き積や写像空間の計算を可能にする。
• カテゴリは単体的集合に豊かに被覆されており、ベクトルバンドルの切断の0-局所の単体的 $C^{\infty}$-環構造を用いて写像空間を明示的に計算可能である。
• 導来多様体は単体的 $C^{\infty}$-環のスペクトルとして定義され、明示的な計算により、多様体上のベクトルバンドルの切断の0-局所の単体的環が $\{C^{\infty}(E^{\times_{\mathcal{M}}^{k}})\}_{k\geq 0}$ に等しいことが示される。
• $d$-多様体の2-カテゴリは、層の押し出しと微分作用素を用いて再解釈され、引き戻しを避けて導来幾何の枠組みと整合する。
• 単体的モデル構造を用いて切り捨て2-函手を分析し、導来多様体から $d$-多様体への写像空間の基本群を取り出すことで、対応を定義する。
• 非自明な $\pi_1$ の類が切り捨て後に消える反例を構成し、1-函手の忠実でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来多様体から $d$-多様体への切り捨て函手は、ホモトピー圏上で全関手かつ本質的に全射か？
• RQ2 導来多様体と $d$-多様体間の同型類は切り捨てプロセスで保存されるか？
• RQ3 切り捨て函手の忠実性の程度は何か？ また、このプロセスでどの程度のホモトピー的情報が失われるか？
• RQ4 有限型の導来 $C^{\infty}$-ス킴にホモトピー的計算を可能にするモデル構造を構築できるか？
• RQ5 ホモトピー的にならない2つの準同型が、$d$-多様体への切り捨て後に等しくなる具体的な例は存在するか？

主な発見

• 導来多様体から $d$-多様体への切り捨て2-函手は、それらのホモトピー圏間の1-函手を誘導し、これは全関手かつ本質的に全射である。
• 誘導された1-函手は、導来多様体と $d$-多様体における同型類の集合の間で一対一対応を確立する。
• 非自明な $\pi_1$ の類が切り捨て後に消える反例により、1-函手が忠実でないことが示された。
• 反例では、導来多様体 $\mathbf{Y}$ から $\mathbf{X}$ への準同型 $\Phi$ と $\Psi$ を構成し、$\Phi$ は座標 $t$ を 0 に写像し、$\Psi$ は $u_1u_2 - u_3^2$ に写像する。この $\pi_1(A_\bullet)$ 内では非自明だが、$d$-多様体への切り捨てでは自明である。
• 有限型多様体上のベクトルバンドルの切断の0-局所の単体的 $C^{\infty}$-環は明示的に $\{C^{\infty}(E^{\times_{\mathcal{M}}^{k}})\}_{k\geq 0}$ に等しく、これが反例の構成の根拠となっている。
• 切り捨て函手は導来設定における同型を検出する。具体的には、$\mathbf{T}(\Phi)$ が同型ならば、$\Phi$ は導来圏における弱同型であることを示した。