[論文レビュー] Derived non-archimedean analytic spaces

Mauro Porta, Tony Yue Yu|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、構造付きトポスと前幾何を用いて、$k$-解析的空間の導来版を構成することで、非アルキメデス幾何の導来版を提示する。これは古典的な剛体空間およびベルコヴィッチ空間を一般化する。基礎的な性質を確立する：通常の $k$-解析的空間の埋め込みの全忠実性、ファイバー積の存在、および $n$-局所的離散対象を通じた高次デリーニュ＝マウンドフォックスタックの導来解析的空間への全忠実埋め込み。

ABSTRACT

We propose a derived version of non-archimedean analytic geometry. Intuitively, a derived non-archimedean analytic space consists of an ordinary non-archimedean analytic space equipped with a sheaf of derived rings. Such a naive definition turns out to be insufficient. In this paper, we resort to the theory of pregeometries and structured topoi introduced by Jacob Lurie. We prove the following three fundamental properties of derived non-archimedean analytic spaces: (1) The category of ordinary non-archimedean analytic spaces embeds fully faithfully into the $\infty$-category of derived non-archimedean analytic spaces. (2) The $\infty$-category of derived non-archimedean analytic spaces admits fiber products. (3) The $\infty$-category of higher non-archimedean analytic Deligne-Mumford stacks embeds fully faithfully into the $\infty$-category of derived non-archimedean analytic spaces. The essential image of this embedding is spanned by $n$-localic discrete derived non-archimedean analytic spaces. We will further develop the theory of derived non-archimedean analytic geometry in our subsequent works. Our motivations mainly come from intersection theory, enumerative geometry and mirror symmetry.

研究の動機と目的

• 交差理論、数え上げ幾何、ミラー対称性への応用を目的とした、非アルキメデス解析的幾何の導来強化を構築すること。
• 導来環の前幾何を持つ $ ext{ extsterling}$-トポスとしての導来 $k$-解析的空間を定義すること。
• 基礎的な圏論的性質を確立する：古典的 $k$-解析的空間の埋め込みの全忠実性、ファイバー積の存在、および導来設定における高次デリーニュ＝マウンドフォックスタックの特徴付け。
• 非アルキメデス幾何における仮想基本類の枠組みを提供することにより、数え上げ幾何におけるモジュライ問題に不可欠な基盤を整えること。

提案手法

• 前幾何と構造付きトポスの理論（Jacob Lurie）を用いて、導来非アルキメデス解析的空間を、導来環の層を持つ $ ext{ extsterling}$-トポスとして定義する。
• 導来空間とそれに対応する古典的解析的空間との関係を明確にするために、$ ext{t}_0$-切断関手を適用する。
• $ au_{ ext{ét}}$-降下とČechネックの技法を用いて、層の代表可能性と導来設定における降下性の閉包性を証明する。
• $m{ riangle}_{s, ext{≤q}2}^{ ext{op}}$ の $m{ riangle}_s^{ ext{op}}$ における $1$-共終性を用いて、$ ext{Sh}( ext{Afd}_k, au_{ ext{ét}})$ トポスにおける余極限を構成する。
• Lurieの『Higher Topos Theory』の結果を応用し、導来空間の $ ext{t}_0$-切断が通常の $k$-解析的空間によって代表可能であることを示す。
• 導来解析的空間と高次解析的スタックの間の比較関手を構成し、降下性と代表可能性を用いて全忠実性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非トランスバーサルな交わりを取り扱うために、導来代数的幾何の技法を非アルキメデス解析的幾何にどのように適応できるか？
• RQ2 剛体空間およびベルコヴィッチ空間の両方を一般化する導来非アルキメデス解析的空間を定義するにあたり、正しい圏論的枠組みは何か？
• RQ3 $ ext{ extsterling}$-圏における導来 $k$-解析的空間のファイバー積は存在するのか？また、それらはどのように振る舞うか？
• RQ4 導来解析的空間への全忠実埋め込みの像として現れる高次解析的スタックはどのようなものか？
• RQ5 非アルキメデス設定において、導来 $k$-解析的空間と高次デリーニュ＝マウンドフォックスタックの正確な関係は何か？

主な発見

• 通常の $k$-解析的空間の圏は、$ ext{ extsterling}$-圏における導来 $k$-解析的空間の圏に全忠実に埋め込まれる。
• $ ext{ extsterling}$-圏における導来 $k$-解析的空間の圏はファイバー積を備え、良好な圏論的性質を持つ。
• 高次非アルキメデス解析的デリーニュ＝マウンドフォックスタックの圏は、$ ext{ extsterling}$-圏における導来 $k$-解析的空間の圏に全忠実に埋め込まれる。
• この埋め込みの本質的像は、正確に $n$-局所的離散導来 $k$-解析的空間からなる。
• 導来 $k$-アフィンイド空間の圏は $ au_{ ext{ét}}$-降下に関して閉じており、エタール被覆による層の代表可能性を保証する。
• 導来 $k$-解析的空間の $ ext{t}_0$-切断は、通常の $k$-解析的空間によって代表可能であり、導来幾何と古典的幾何の間の接続を提供する。