[論文レビュー] Deriving a complete set of eigendistributions for a gravitational wave equation describing the quantized interaction of gravity with a Yang-Mills field in case the Cauchy hypersurface is non-compact

Claus Gerhardt|arXiv (Cornell University)|May 11, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Gelfand三重対と核スペクトル定理を用いて、非コンパクトなコーシー超曲面へ重力波方程式のスペクトル分解を拡張する。空間的演算子の完全な固有分布の集合を確立し、それらの滑らかさと固有値の正の性質を証明し、一般化固有関数による変数分離法を用いて解のスペクトル分解を導出し、有限エネルギー解が得られ、$ L^2(\mathbb{R}^*_+, \mathbb{C}) $ における基底を保証する。

ABSTRACT

In a recent paper we quantized the interaction of gravity with a Yang-Mills and Higgs field and obtained as a result a gravitational wave equation in a globally hyperbolic spacetime. Assuming that the Cauchy hypersurfaces are compact we proved a spectral resolution for the wave equation by applying the method of separation of variables. In this paper we extend the results to the case when the Cauchy hypersurfaces are non-compact by considering a Gelfand triplet and applying the nuclear spectral theorem.

研究の動機と目的

• コンパクトなコーシー超曲面から非コンパクトなコーシー超曲面への、量子化された重力波方程式のスペクトル分解を拡張する。
• 分布論を用いて、波方程式における空間的楕円型演算子の完全な固有分布の集合を確立する。
• これらの固有分布が滑らかであり、かつ固有値が正であることを証明する。
• 変数分離法を非コンパクトな場合に一般化し、分布的固有関数を含める。
• 得られる解が有限な時間的および局所有界な空間的エネルギーを持つことを保証し、物理的整合性を維持する。

提案手法

• 非コンパクトなリーマン多様体 $ \mathcal{S}_0 $ 上の自己共役楕円型演算子 $ A $ に、Gelfand-Maurin の核スペクトル定理を適用する。ただし、滑らかで有界な係数条件を満たすものとする。
• 分布を扱い、完全な固有分布の集合 $ f(\lambda) \in \mathscr{S}' $ の存在を保証するため、Gelfand三重対 $ \mathscr{S} \subset L^2(\mathcal{S}_0) \subset \mathscr{S}' $ を構成する。
• 演算子 $ A $ の一様楕円型性と滑らかさから、固有分布 $ f(\lambda) $ が滑らかで、かつ緩やかな分布（tempered distributions）であることを証明し、その固有値 $ a(\lambda) > 0 $ がほとんど everywhere で成り立つことを示す。
• 変数分離法を用い、$ u(x,t) = w(t)f(x) $ とおくことで、双曲型波方程式を時間に関するODE固有値問題に還元する：$ -\frac{1}{32}\frac{n^2}{n-1}\ddot{w} - \mu t^{2-\frac{4}{n}}w - n t^2 \varLambda w = 0 $、ここで $ \mu = a(\lambda) $ である。
• 先行研究の結果を応用して、このODEが可算個の解 $ (w_i, \varLambda_i) $ を持ち、$ \varLambda_i < \varLambda_{i+1} < 0 $、$ \lim \varLambda_i = 0 $ を満たし、$ H $ で有限エネルギーを持つことを示す。
• 時間的固有関数を $ \tilde{w}_i(t) = w_i(\lambda_i^{n/(4(n-1))} t) $ と変換し、それが $ L^2(\mathbb{R}^*_+, \mathbb{C}) $ および $ H^1 $-型ノルムで定義されるヒルベルト空間 $ H $ において基底をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤン・ミルズおよびヒッグス相互作用を伴う重力波方程式のスペクトル分解を、コンパクトなコーシー超曲面から非コンパクトな超曲面へどのように拡張できるか？
• RQ2 非コンパクト多様体上の楕円型演算子の固有分布を定義・特徴付けるために、適切な関数解析的枠組みは何か？
• RQ3 非コンパクトな場合における空間的演算子の固有値はどのように振る舞い、ほとんど everywhere で正であることをどのように確立できるか？
• RQ4 有限エネルギー解を保ちながら、分布的固有関数を含むように変数分離法を一般化できるか？
• RQ5 非コンパクトな $ \mathcal{S}_0 $ 上の空間的演算子のスペクトルにマスギャップを示すために、どのような強化された条件下で成立するか？

主な発見

• 非コンパクトなコーシー超曲面 $ \mathcal{S}_0 $ 上の楕円型演算子 $ A $ に対して、固有分布 $ f(\lambda) \in \mathscr{S}' $ が完全な集合をなし、$ A f(\lambda) = a(\lambda) f(\lambda) $ を満たし、$ a(\lambda) > 0 $ がほとんど everywhere で成り立つ。
• すべての固有分布 $ f(\lambda) $ は、$ A $ の一様楕円型性と滑らかな係数から、滑らかな関数であり、かつ緩やかな分布（tempered distributions）である。
• 空間的演算子の固有値 $ a(\lambda) $ は、ほとんどすべての $ \lambda $ に対して正であり、スペクトル分解の物理的意味を保証する。
• 双曲型波方程式 (1.1) の古典的解 $ u_i = w_i f $ は、変数分離法により構成され、$ w_i $ は時間依存ODE (4.22) を満たし、有限エネルギーを持つ。
• 変換された固有関数 $ \tilde{w}_i(t) = w_i(\lambda_i^{n/(4(n-1))} t) $ は、$ L^2(\mathbb{R}^*_+, \mathbb{C}) $ およびヒルベルト空間 $ H $ において基底をなすため、スペクトル分解の完全性が保証される。
• より強い仮定、例えば $ -\frac{n}{2}R + G + \alpha_2 \frac{n}{2} m_0 V \geq \epsilon_0 r^\delta $（$ \delta > 0 $）のもとでは、演算子 $ A $ は純粋な点スペクトルを持つようになり、コンパクトな場合の挙動を回復する。