[論文レビュー] Descent Data and Absolute Kan Extensions

Fernando Lucatelli Nunes|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、下降理論と単関手性を結びつける。任意のラックス下降対象を備えた2-圏において、ラックス下降データを忘れる忘却関手が絶対カーン拡張を生成することを証明することで、その関係を確立する。主な結果は、このような忘却関手が左随伴を持つ場合、単関手的であることを示しており、Bénabou-Roubaudの定理の一方の方向が、ベック・チーガルデ条件を要しないこと、すなわち、この性質を備えないインデックス付きカテゴリにおいても成り立つことを示している。

ABSTRACT

The fundamental construction underlying descent theory, the lax descent category, comes with a functor that forgets the descent data. We prove that, in any $2$-category $\mathfrak{A} $ with lax descent objects, the forgetful morphisms create all Kan extensions that are preserved by certain morphisms. As a consequence, in the case $\mathfrak{A} = \mathsf{Cat} $, we get a monadicity theorem which says that a right adjoint functor is monadic if and only if it is, up to the composition with an equivalence, (naturally isomorphic to) a functor that forgets descent data. In particular, within the classical context of descent theory, we show that, in a fibred category, the forgetful functor between the category of internal actions of a precategory $a$ and the category of internal actions of the underlying discrete precategory is monadic if and only if it has a left adjoint. More particularly, this shows that one of the implications of the celebrated Benabou-Roubaud theorem does not depend on the so called Beck-Chevalley condition. Namely, we prove that, in indexed categories, whenever an effective descent morphism induces a right adjoint functor, the induced functor is monadic.

研究の動機と目的

• 下降データとカーン拡張を結ぶ一般化された2-圏的枠組みを確立すること。
• ラックス下降対象を備えた2-圏において、ラックス下降データを忘れる忘却関手が絶対カーン拡張を生成することを示すこと。
• ベック・チーガルデ条件を仮定しないで、下降データを忘れる忘却関手の単関手性定理を証明すること。
• ベック・チーガルデ条件を満たさないインデックス付きカテゴリにおいても、有効な下降射が単関手的関手を誘導することを示すこと。
• ベック・チーガルデ条件に依存しない形で、下降理論と単関手性の関係を明確にすること、特に下降が単関手性を示すことを示すこと。

提案手法

• 等式子の2次元的類似としてラックス下降圏を用い、2-セルの整合性データを符号化する。
• 2-圏における絶対カーン拡張の理論を適用し、ラックス下降圏からの忘却関手がこのような拡張を生成することを示す。
• 2-圏 Cat において、下降データの忘却関手が単関手的であるのは、左随伴を持つ場合に限ることを活用する。
• インデックス付きカテゴリの一般枠組みを構築し、圏から Cat への偽関手による内部作用を定義する。
• インデックス付きカテゴリにおける有効な下降射の特徴づけを、引き戻し関手の同値性を用いて行う。
• 定理2.7を適用し、対応する引き戻し関手が左随伴を持つ場合、有効な下降射が単関手的関手を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラックス下降対象を備えた2-圏において、下降データを忘れる忘却関手は絶対カーン拡張を生成するか？
• RQ2 ベック・チーガルデ条件を仮定しないで、下降データを忘れる忘却関手の単関手性を確立できるか？
• RQ3 ベック・チーガルデ条件を満たさないインデックス付きカテゴリにおいても、有効な下降から単関手性への含意は成立するか？
• RQ4 右随伴関手が下降データの忘却関手と自然同型であるとき、どのような条件下で単関手的となるか？
• RQ5 Bénabou-Roubaudの定理における単関手性の結論は、ベック・チーガルデ条件に依存するか？

主な発見

• 任意のラックス下降対象を備えた2-圏において、ラックス下降圏からの忘却関手は、すべての絶対カーン拡張を生成する。
• 2-圏 Cat において、右随伴関手が単関手的であることと、それが下降データを忘れる関手と自然同型であることは、同値である。
• ファイブレーション圏における内部作用の間の忘却関手の単関手性は、それが左随伴を持つ場合に限り成立する。
• インデックス付きカテゴリにおける有効な下降から単関手性への含意は、ベック・チーガルデ条件を要しない。
• （例：cat^op 上で定義された偽関手 E に対して）ベック・チーガルデ条件を満たさないインデックス付きカテゴリにも、有効な下降射が存在し、それらは依然として単関手的関手を誘導する。
• cat^op における射 h:1⊔1→2 の例は、ベック・チーガルデ条件が成立しない場合でも単関手性が成立しうることを示しており、この条件の独立性を確認している。