[論文レビュー] Descent of Deligne groupoids

Vladimir Hinich|ArXiv.org|Jun 11, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、非負の次数付きdgリー代数に対して、多項式微分形式上のモーラー＝カルタン方程式を介してケン複体を割り当てる関手が、ホモトピー的意味で全空間関手と可換であることを確立する。これはシェフチマンの予想を証明し、dgリー代数の層によって支配されるグローバルな変形問題が、導来グローバルセクションによって制御されることを示し、以前の結果を非滑らか（non-smooth）な場合に一般化する。

ABSTRACT

To any non-negatively graded dg Lie algebra $g$ over a field $k$ of characteristic zero we assign a functor $Σ_g: art/k o Kan$ from the category of commutative local artinian $k$-algebras with the residue field $k$ to the category of Kan simplicial sets. There is a natural homotopy equivalence between $Σ_g$ and the Deligne groupoid corresponding to $g$. The main result of the paper claims that the functor $Σ$ commutes up to homotopy with the "total space" functors which assign a dg Lie algebra to a cosimplicial dg Lie algebra and a simplicial set to a cosimplicial simplicial set. This proves a conjecture of Schechtman which implies that if a deformation problem is described ``locally'' by a sheaf of dg Lie algebras $g$ on a topological space $X$ then the global deformation problem is described by the homotopy Lie algebra $RΓ(X,g)$.

研究の動機と目的

• シェフチマンの予想である、デリーニ群系列関手がホモトピー的意味で全空間関手と可換であることを証明すること。
• 空間 $X$ 上のdgリー代数の層によって支配されるグローバルな変形問題が、導来グローバルセクション $\mathbf{R}\Gamma(X,\mathfrak{g})$ によって制御されることを確立すること。
• [HS2] の定理 8.3 を形式的滑らかさの仮定なしに一般化すること。
• dgリー代数を用いたホモトピー的枠組みを提供し、形式的変形理論における降下（descent）を扱うこと。
• dgリー代数 $\mathfrak{g}$ にケン複体を割り当てる関手 $\Sigma_{\mathfrak{g}}$ が、デリーニ群系列 $\cal C_{\mathfrak{g}}$ とホモトピー同値であることを示すこと。

提案手法

• nilpotent dgリー代数 $\mathfrak{g}$ の「内容」$\Sigma(\mathfrak{g})$ を、$\Omega_\bullet \otimes \mathfrak{g}$ 内のモーラー＝カルタン方程式の解の集合として定義し、これはケン複体をなす。
• 可換dg代数 $\Omega_\bullet$ を用いて、シンプレキシカルdgリー代数 $\mathfrak{g}_\bullet = \Omega_\bullet \otimes \mathfrak{g}$ を構成する。
• $\Sigma(\mathfrak{g})$ が自然な写像を通じてデリーニ群系列 $\cal C_{\mathfrak{g}}$ とホモトピー同値であることを証明する。
• 二重単体的dg代数におけるアサイクロスファイブレーションの基準（命題 3.4.8）を適用し、全空間関手がホモトピー型を保存することを示す。
• クンネッスの定理と多項式微分形式の性質を用いて、ファイブレーションのアサイクロイティおよび全射性の条件を検証する。
• コシンプレキシカル単体的集合上の全空間関手が、$\Sigma$-関手とホモトピー的意味で可換であるという事実を活用し、主要定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dgリー代数 $\mathfrak{g}$ にケン単体的集合を割り当てる関手 $\Sigma_{\mathfrak{g}}$ は、ホモトピー的意味で全空間関手と可換であるか？
• RQ2 空間 $X$ 上のdgリー代数の層 $\mathfrak{g}$ によって支配されるグローバルな変形問題は、導来グローバルセクション $\mathbf{R}\Gamma(X,\mathfrak{g})$ で記述可能か？
• RQ3 [HS2] の定理 8.3 が形式的滑らかさの仮定なしに成り立つか？
• RQ4 被覆 $\{U_i\}$ に対して、$\Gamma(U_i, \mathfrak{g})$ に関連するデリーニ群系列は、降下データの群系列と同値か？
• RQ5 dgリー代数の内容 $\Sigma(\mathfrak{g})$ は、古典的なデリーニ群系列 $\cal C_{\mathfrak{g}}$ とホモトピー同値か？

主な発見

• 関手 $\Sigma_{\mathfrak{g}}$ はデリーニ群系列 $\cal C_{\mathfrak{g}}$ とホモトピー同値であり、変形関手の単体的モデルを提供する。
• 主要定理により、$\Sigma$ が全空間関手とホモトピー的意味で可換であることが示され、シェフチマンの予想が証明される。
• グローバルな変形群系列 $F_i$ は、自然に $\mathbf{R}\Gamma^{\operatorname{Lie}}(X,\mathfrak{g}_i)$ に関連するデリーニ群系列と同値であり、[HS2] の結果を非滑らかケースに一般化する。
• 系 5.2 により、形式的滑らかさの仮定なしに $R^* \cong H^\mathrm{Lie}_0(\mathbf{R}\Gamma^{\mathrm{Lie}}(X,\mathfrak{g}_i))$ が成り立つ。
• 証明は、ある二重単体的dg代数の写像がホモロジー代数的技法とクンネッスの定理を用いてアサイクロスファイブレーションであることを示すことに依拠している。
• この構成により、dgリー代数を用いた変形問題のホモトピー的降下理論が得られ、局所的およびグローバルな記述が統合される。