[論文レビュー] Description of limits of ranges of iterations of stochastic integral mappings of infinitely divisible distributions

Ken‐iti Sato|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、R^d 上の無限に可分な分布に対する反復確率積分写像の入れ子範囲の極限を特徴づけ、3つの核関数 f の族に対して、極限クラスが完全自己分解可能分布の集合 L_∞ であるか、スペクトル測度の集中と平均条件によって定義される真の部分クラスであることを示している。臨界ケース α=1 では、弱平均零の概念が不可欠となる。

ABSTRACT

For infinitely divisible distributions $ρ$ on $\mathbb{R}^d$ the stochastic integral mapping $Φ_fρ$ is defined as the distribution of improper stochastic integral $\int_0^{\infty-} f(s) dX_s^{(ρ)}$, where $f(s)$ is a non-random function and $\{X_s^{(ρ)}\}$ is a Lévy process on $\mathbb{R}^d$ with distribution $ρ$ at time 1. For three families of functions $f$ with parameters, the limits of the nested sequences of the ranges of the iterations $Φ_f^n$ are shown to be some subclasses, with explicit description, of the class $L_{\infty}$ of completely selfdecomposable distributions. In the critical case of parameter 1, the notion of weak mean 0 plays an important role. Examples of $f$ with different limits of the ranges of $Φ_f^n$ are also given.

研究の動機と目的

• 特定の核関数 f の族に対して、R^d 上の反復確率積分写像 Φ_f^n の極限クラスを同定すること。
• f に含まれるパrameter、特に臨界ケース α=1 に依存するこれらの反復の漸近的挙動を調査すること。
• α=1 の場合に、極限クラスを特徴づけるために弱平均零の役割を明確にすること。
• f(s)=e^{-s} の場合に既知の L_∞ が極限であるという結果を、べき則的または対数的減衰を示す f の広いクラスへと拡張すること。
• パrameter α と f の可積分性条件に応じて、完全自己分解可能分布の新しい部分クラスを極限として同定すること。

提案手法

• 核関数 f に対して、確率積分写像 Φ_f を、{X_s^(ρ)} を時間 1 における Lévy 原生過程とするとき、∫₀^∞⁻ f(s) dX_s^(ρ) の分布として定義する。
• D(Φ_f^n) を Φ_f への反復的帰属として定義することで、Φ_f^n の反復を再帰的に研究する。
• Lévy-Khintchine の表現を用いて、μ ∈ ID の Lévy 測度 ν_μ を分析し、特に β ∈ (0,2) と ξ ∈ S^{d-1} を用いたスペクトル表現を考察する。
• スペクトル濃縮 L_∞^E (E ⊆ (0,2)) を用いて、R_∞(Φ_f) をすべての R(Φ_f^n) の共通部分として特徴づける。
• 臨界ケース α=1 の取り扱いに際し、Lévy トリプレットにおける漂移の消滅という弱平均零の概念を適用する。
• 自己分解可能性、安定性、畳み込み閉じたクラスの性質を用いて、極限における包含関係と等号を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f(s) = s^{-α} またはパrameter α を持つ関連関数に対して、確率積分写像の極限クラス R_∞(Φ_f) は何か？
• RQ2 α=1 の場合に極限クラスはどのように変化するのか？また、この場合に弱平均零の概念がなぜ本質的なのか？
• RQ3 極限クラスが L_∞ の真の部分クラスであることはあり得るか？その条件は何か？
• RQ4 どの f の族に対して R_∞(Φ_f) が L_∞ に等しくなり、どの族に対しては L_∞^(α,2) ∩ {μ: μ は平均 0 を持つ} のようなより小さいクラスに等しくなるか？
• RQ5 R_∞(Φ_f) が L_∞ よりも厳密に小さいケースは存在するか？このようなクラスは明示的に記述可能か？

主な発見

• α ≤ 0 かつ p ≥ 1、または 0 < α < 1 かつ p ≥ 1 の場合、極限クラス R_∞(Φ_f) は L_∞、すなわち完全自己分解可能分布のクラスに等しい。
• 1 < α < 2 かつ p ≥ 1 の場合、極限クラスは L_∞^(α,2) ∩ {μ ∈ ID: μ は平均 0 を持つ} であり、L_∞ の真の部分クラスである。
• α = 1 かつ q = 1 の場合、極限クラスは L_∞^(1,2) ∩ {μ ∈ ID: μ は弱平均零を持つ} であり、L_∞ よりも厳密に小さいクラスである。
• α = 1 かつ q ≠ 1 の場合、極限クラスは完全に特徴づけられておらず、このパrameter領域では未解決問題が残っている。
• b-自己分解可能分布の極限クラス L_∞(b) は、f(s) = b1_{[0,1]} + 1_{(1,2]} の場合、R_∞(Φ_f) に含まれるが、等号は確立されていない。
• 本稿では、l_{q,1}(s) (q ∈ (0,1) ∪ (1,∞)) や f(s) = e^{-s}1_{[0,c]}(s) のような f に対して R_∞(Φ_f) が未同定であると指摘し、今後の研究方向を示唆している。