[論文レビュー] Desingularization of complex multiple zeta-functions

Hidekazu Furusho, Yasushi Komori+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

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ひとこと要約

本稿では、一般化されたオイラー＝ザジエル型の複素多変数ゼータ関数が有する無限個の特異超平面を解消するための方法を提案し、変数をずらした関数の有限線形結合によって、それらを整関数に変換する。主な結果は、特異化された関数が非正整数点において明示的にベルヌーイ数で表されるwell-definedな特別値をもつことである。

ABSTRACT

We introduce the method of desingularization of multi-variable multiple zeta-functions (of the generalized Euler-Zagier type), under the motivation of finding suitable rigorous meaning of the values of multiple zeta-functions at non-positive integer points. We reveal that multiple zeta-functions (which are known to be meromorphic in the whole space with infinitely many singular hyperplanes) turn to be entire on the whole space after taking the desingularization. The desingularized function is given by a suitable finite `linear' combination of multiple zeta-functions with some arguments shifted. It is shown that specific combinations of Bernoulli numbers attain the special values at their non-positive integers of the desingularized ones. We also discuss twisted multiple zeta-functions, which can be continued to entire functions, and their special values at non-positive integer points can be explicitly calculated.

研究の動機と目的

• 非正整数点に存在する無限個の特異超平面に起因する多変数ゼータ関数の不定性を解消すること。
• 極限依存の結果に起因する曖昧さを回避し、非正整数点における多変数ゼータ関数の値に対して、厳密で曖昧さのない定義を提供すること。
• 1変数の場合に (s−1)ζ(s) が整関数であるという特異点除去のアイデアを、多変数の場合に一般化すること。
• 特異化除去のアプローチをねじれ多変数ゼータ関数に拡張し、その整関数的続行と特別値を導出すること。
• 特に一般化されたオイラー＝ザジエル型に対して、特異化された値の明示的公式をベルヌーイ数の用語で確立すること。

提案手法

• 変数に依存する係数を有する、ずらされた多変数ゼータ関数の有限線形結合として特異化された多変数ゼータ関数を構成する。
• 特異超平面の構造（例：s_r=1, s_{r-1}+s_r=2,1,0,...）を用いて、特異点を相殺するようにずらしと係数を選択する。
• 一般化されたオイラー＝ザジエル型多変数ゼータ関数 ζ_r((s_j);(γ_j)) 及びその単位根を用いたねじれバージョンにこの手法を適用する。
• 多重ベルヌーイ数を用いて、非正整数点における特異化された関数の明示的公式を導出する。
• 代数的恒等式による特異点のすべての相殺を示すことで、特異化された関数の整関数性を確認する。
• 既知の恒等式（例：ζ_2(0,s) = ζ(s−1)−ζ(s)）を用い、特異化された値を既知のゼータ関数と関連づけ、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異超平面に起因する不定性のため、非正整数点における多変数ゼータ関数に、曖昧さのない明確な値を割り当てることは可能か？
• RQ2 有理型多変数ゼータ関数の変数をずらした有限線形結合によって、整関数を構成することは可能か？
• RQ3 特異化された多変数ゼータ関数の非正整数点における特別値の明示的形は何か？
• RQ4 特異化された関数の特別値は、多重ベルヌーイ数とどのように関係するか？
• RQ5 特異化除去の手法と、既存の正規化技術（例：Guo-Zhang, Manchon-Paycha）との間に、関係性はあるか？

主な発見

• 特異化された多変数ゼータ関数は C^r 上で整関数であり、すべての特異点が、変数をずらしたゼータ関数の有限線形結合によって相殺されている。
• r=2 の場合、(−k,−l) における特異化された値はベルヌーイ数の二重和として与えられる：ζ²_des(−k,−l;1,1) = (−1)^{k+l} Σ Σ Σ B_{k+ν+κ+1}B_{l−κ+ρ+1}B_{m−ν−ρ+1} γ₁^{k+ν+κ+1}γ₂^{l−κ+ρ+1} および多項式係数を含む。
• r=3 の場合、(−k,−l,−m) における特異化された値は、ベルヌーイ数および多項式係数の三重和として明示的に計算可能である。
• 特異化された関数は (−1,1;1,1) で 1/8 に、(−1,4;1,1) で ζ(3)−ζ(4) に評価され、既知のゼータ関数の値と整合的であることが示された。
• この手法は正規化技術とは異なる値をもたらす：例えば ζ²_des(0,−2;1,1) = 1/18 であり、Guo-Zhang の 1/120 や Manchon-Paycha の 7/720 とは異なる。
• 特異化された関数は、非適格インデックス（例：(1,1), (2,1)）に対しても明確に評価可能であり、ζ²_des(1,1;1,1) = 1/2 および ζ²_des(2,1;1,1) = −ζ(2)+2ζ(3) を得る。