[論文レビュー] Desingularization of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type and evaluation of p-adic multiple L-functions at arbitrary integers

Hidekazu Furusho, Yasushi Komori+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

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ひとこと要約

本稿では、一般化されたHurwitz-Lerch型の多重ゼータ関数の特異性を解消する手法を導入し、それらの特異性を除去することで、通常の多重ゼータ関数の有限和として表される整関数が得られることを示す。さらに、p-進多重スターポリログの使用により、p-進多重L関数を任意の整数引数に拡張し、Kubota-LeopoldtおよびColemanの古典的公式を一般化する。

ABSTRACT

We study analytic properties of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type. First, as a special type of them, we consider multiple zeta-functions of generalized Euler-Zagier-Lerch type and investigate their analytic properties which were already announced in our previous paper. Next we give `desingularization' of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type, which include those of generalized Euler-Zagier-Lerch type, the Mordell-Tornheim type, and so on. As a result, the desingularized multiple zeta-function turns out to be an entire function and can be expressed as a finite sum of ordinary multiple zeta-functions of the same type. As applications, we explicitly compute special values of desingularized double zeta-functions of Euler-Zagier type. We also extend our previous results concerning a relationship between $p$-adic multiple $L$-functions and $p$-adic multiple star polylogarithms to more general indices with arbitrary (not necessarily all positive) integers.

研究の動機と目的

• Euler-Zagier-Lerch型を超えて、より広い一般化されたHurwitz-Lerch型のクラスにまで、多重ゼータ関数の特異性解消フレームワークを拡張すること。
• これらのゼータ関数のすべての特異性を解消し、それらが同じ型の通常の多重ゼータ関数の有限線形結合として表される整関数が得られること。
• p-進多重L関数とp-進多重スターポリログの関係を、正の整数に限定されない任意の整数インデックスへ一般化すること。
• ねじれ多重ベルヌーイ数を用いて、特異性解消された二重ゼータ関数の特殊値を計算すること。
• すべての整数における多重L関数のp-進補間公式を確立し、Kubota-LeopoldtおよびColeman型の公式を統一すること。

提案手法

• 一般化されたHurwitz-Lerchゼータ関数の特異性を特定し、メリン＝バーナーズ積分表現を用いてその解析接続を分析する。
• 特異点における極部分を差し引くことで、ゼータ関数の特異性解消版を構成し、整関数を得る。
• 組合せ論的留数減算を用いて、特異性解消済みのゼータ関数を同じ型の通常の多重ゼータ関数の有限和として表現する。
• 単位根およびp乗根を含む母関数を用いて、p-進多重スターポリログを定義する。
• ねじれ多重ベルヌーイ数の母関数を適用し、特異性解消済みゼータ関数の特殊値を評価する。
• p-進多重スターポリログの母関数とねじれベルヌーイ数の母関数を一致させることで、p-進補間公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたHurwitz-Lerch型の多重ゼータ関数の特異性は、どのようにして系的に解消され、整関数が得られるのか。
• RQ2 特異性解消済みの多重ゼータ関数は、通常の多重ゼータ関数の観点から、明示的にどのような構造を持つのか。
• RQ3 p-進多重スターポリログを用いて、p-進多重L関数を任意の（必ずしも正の）整数においてどのように評価できるか。
• RQ4 特異性解消済み二重ゼータ関数の特殊値とねじれ多重ベルヌーイ数の間にはどのような関係があるか。
• RQ5 古典的Kubota-LeopoldtおよびColemanの公式は、任意の整数引数における多重ゼータ関数およびL関数へ一般化可能か。

主な発見

• 一般化されたHurwitz-Lerch型の特異性解消済み多重ゼータ関数は整関数であり、同じ型の通常の多重ゼータ関数の有限和として表される。
• Euler-Zagier型の二重ゼータ関数に関しては、任意の整数における特殊値がねじれ多重ベルヌーイ数を用いて明示的に計算可能である。
• 負の整数におけるp-進多重スターポリログが、ある種のねじれ多重ベルヌーイ数と一致することが示された。
• p-進多重L関数の任意の整数における評価は、単位根およびねじれベルヌーイ数を含む和の式で与えられる。
• 負の整数におけるp-進多重L関数の公式は、Kubota-Leopoldtの公式およびColemanの公式を両方一般化する。
• ねじれ多重ベルヌーイ数の母関数とp-進ポリログの母関数を用いることで、すべての整数における多重L関数のp-進補間公式が導出された。