[論文レビュー] Desingularization of complex multiple zeta-functions, fundamentals of $p$-adic multiple $L$-functions, and evaluation of their special values

Hidekazu Furusho, Yasushi Komori+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

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ひとこと要約

本稿では、複素多変数リーマンゼータ関数の特異性を、シフトされたゼータ関数の線形結合によって解消する処理を導入し、それらを整関数にすることで、$p$-進多変数$L$-関数を$p$-進測度を用いて構成する。主な結果として、$p$-進多変数$L$-関数の非正の整数における明示的評価が、ねじれ多重ベルヌーイ数を用いて与えられ、正の整数においては$p$-進ねじれ多重多対数関数を用いて与えられ、多重カウマー合同式と符号条件を伴う関数関係が確立される。

ABSTRACT

This paper deals with a multiple version of zeta- and L-functions both in the complex case and in the p-adic case: [I] Our motivation in the complex case is to find suitable rigorous meaning of the values of multivariable multiple zeta-functions (MZFs) at non-positive integer points. (a) We reveal that MZFs turn to be entire on the whole space after taking the desingularization. Further we show that the desingularized function is given by a suitable finite linear combination of MZFs with some arguments shifted. It is also shown that specific combinations of Bernoulli numbers attain the special values at their non-positive integers of the desingularized ones. (b) Twisted MZFs can be continued to entire functions and their special values at non-positive integer points can be explicitly calculated. [II] Our work in the p-adic case is to develop the study on analytic side of the Kubota-Leopoldt p-adic L-functions (pLFs) into the multiple setting. We construct p-adic multiple L-functions (pMLFs), multivariable versions of their pLFs, by using a specific p-adic measure. We establish their various fundamental properties: (a) We establish their intimate connection with the above complex MZFs by showing that the special values of pMLFs at non-positive integers are expressed by the twisted multiple Bernoulli numbers, the special values of the complex MZFs at non-positive integers. (b) We extend Kummer congruence for Bernoulli numbers to congruences for the twisted multiple Bernoulli numbers. (c) We extend the vanishing property of the Kubota-Leopoldt pLFs with odd characters to our pMLFs. (d) We establish their close relationship with the p-adic twisted multiple polylogarithms (pTMPLs) by showing that the special values of pMLFs at positive integers are described by those of pTMPLs at roots of unity, which generalizes the previous result of Coleman in the single variable case.

研究の動機と目的

• 非正の整数における複素多変数ゼータ関数の不定性を、特異性除去の手続きを導入することで解消すること。
• 特定の$p$-進測度を用いて、キューバタ・レオポルド$p$-進$L$-関数の理論を多変数設定に拡張すること。
• 非正および正の整数における$p$-進多変数$L$-関数の特殊値を明示的に評価すること。
• カウマー合同式および関数関係を、多変数$p$-進$L$-関数の設定に一般化すること。
• 根の単位根における$p$-進ねじれ多重多対数関数と$p$-進多変数$L$-関数を結びつけること。

提案手法

• 特異性を除去する一般化されたオイラー＝ザジエール多変数ゼータ関数の定義を、シフトされたゼータ関数の有限線形結合として行い、特異性を除去する。
• 特定の$p$-進測度を用いて$p$-進多変数$L$-関数を構成し、メロモルフィックな拡張と正則性を保証する。
• 非正の整数における$p$-進多変数$L$-関数の値とねじれ多重ベルヌーイ数との関係を確立する。
• $p$-進補間を用いて、ねじれ多重ベルヌーイ数に対する多重カウマー合同式を導出する。
• 符号条件を伴う関数関係を証明し、奇数特徴の$p$-進$L$-関数の消滅性を一般化する。
• 正の整数における$p$-進多変数$L$-関数の特殊値を、単位根における$p$-進ねじれ多重多対数関数の評価の線形結合として関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正の整数における複素多変数ゼータ関数の値は、特異性があるにもかかわらず、どのように厳密に定義可能か？
• RQ2 $p$-進多変数$L$-関数の構造は何か？ そして、古典的$p$-進$L$-関数をどのように一般化するか？
• RQ3 非正の整数における$p$-進多変数$L$-関数の特殊値は、ねじれ多重ベルヌーイ数とどのように関係しているか？
• RQ4 カウマー合同式は、多変数$p$-進$L$-関数の設定に拡張可能か？
• RQ5 根の単位根における$p$-進多変数$L$-関数と$p$-進ねじれ多重多対数関数の関係は何か？

主な発見

• 特異性除去された多変数ゼータ関数は、シフトされたゼータ関数の有限線形結合によって$\mathbb{C}^r$上で整関数にとなる。
• 非正の整数における特異性除去ゼータ関数の特殊値は、ベルヌーイ数の特定の組み合わせによって明示的に与えられる。
• ねじれ多重ゼータ関数は整関数であり、非正の整数におけるその特殊値は明示的に計算可能である。
• $p$-進多変数$L$-関数の非正の整数における特殊値は、ねじれ多重ベルヌーイ数と特異性除去された複素ゼータ関数の特殊値の両方で表される。
• ねじれ多重ベルヌーイ数に対して多重カウマー合同式が確立され、古典的カウマー合同式が一般化される。
• 正の整数における$p$-進多変数$L$-関数の特殊値は、単位根における$p$-進ねじれ多重多対数関数の線形結合として記述され、単一変数の場合のコールマンの結果が一般化される。