[論文レビュー] Determinantal singularities and Newton polyhedra

Alexander Esterov|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、行列式的特異点および完全交差特異点の一般化である結果的特異点——その位相的不変量がニュートン多面体を用いて計算可能——を導入する。相対的混合体積、一般化された Kouchnirenko-Bernstein 公式、およびトーリック解消を用いて、解析的局所関数の定める写像の位相的次数（Poincaré-Hopf 細分）が、一般位置条件のもとで $ n! \cdot \text{Vol}(\Delta_1, \ldots, \Delta_n) $ に等しいことを確立。古典的な結果式および特異点に関する結果が凸幾何学によって統一される。

ABSTRACT

There are two well known tasks, related to Newton polyhedra: to study invariants of singularities in terms of their Newton polyhedra, and to describe Newton polyhedra of resultants and discriminants. We introduce so called resultantal singularities, whose study in terms of Newton polyhedra unifies these two tasks to a certain extent. As an application, we study topological invariants of determinantal singularities and (co)vector fields on singular varieties in terms of Newton polyhedra, and provide new formulations and proofs for a number of well known results. The computations are based on certain relative versions of the mixed volume and the Kouchnirenko--Bernstein--Khovanskii formula. For the most part, this is a significantly updated exposition of material from four recent papers by the author.

研究の動機と目的

• 結果的特異点と呼ばれる新しい特異点類を通じて、判別式／結果式の研究（タスク A）と特異点の不変量の研究（タスク B）を統一すること。
• ニュートン多面体の相対的および混合体積設定への古典的 Kouchnirenko-Bernstein 公式の一般化。
• ニュートン多面体を用いて行列式的および結果的特異点の位相的不変量（ミルナー数、Poincaré-Hopf 細分など）を計算すること。
• 結果的特異点のためのトーリック解消を構成し、このクラスに特有の新技術——交差数のための Cayley のテクニック——を発展させること。

提案手法

• 正の象限における多面体のペアに対する相対的混合体積を導入し、次元が最大でない状況への古典的混合体積の拡張を実現。
• Kouchnirenko-Bernstein 公式の相対的バージョンを構築し、方程式系の解の数をニュートン多面体と先行係数の観点から計算可能にする。
• 一般化された公式を適用して、一般位置条件のもとで写像 $ (f_1,\ldots,f_n): (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C}^n,0) $ の位相的次数が $ n! \cdot \text{Vol}(\Delta_1,\ldots,\Delta_n) $ に等しいことを示す。
• Minkowski 積構造とニュートン多面体の幾何学を用いて、結果的特異点のトーリック解消を構成する。
• 交差数のための Cayley のテクニック——完全交差に対しては利用できない、結果的特異点に特有の新技術——を導入する。
• Minkowski 積の射影と格子点の数え上げを用いて、多面体複体内の整数点と方程式系の解とを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結果式および判別式の研究を、ニュートン多面体を通じて特異点の不変量の研究とどのように統一できるか？
• RQ2 次元が最大でないニュートン多面体を含む方程式系に対して、Kouchnirenko-Bernstein 公式の正確な一般化は何か？
• RQ3 行列式的特異点に対して、ニュートンデータを用いて Poincaré-Hopf 細分およびミルナー数をどのように計算できるか？
• RQ4 相対的混合体積およびトーリック解消は、結果的特異点の不変量を計算する上で果たす役割は何か？
• RQ5 交差数のための Cayley のテクニックは、完全交差を越えて不変量を計算するのに利用可能か？

主な発見

• 写像 $ (f_1,\ldots,f_n) $ の原点における位相的次数は、$ f_i $ の先行係数が、任意の線形関数 $ l $ に対して $ (\mathbb{C}^\times)^n $ 内に共通根を持たない一般位置条件を満たす場合、$ n! \cdot \text{Vol}(\Delta_1,\ldots,\Delta_n) $ に等しい。
• 一般位置条件は、すべての $ l $-準同次成分における混合体積の非消滅と同値であり、これにより次数が正確に体積項に等しくなる。
• 0次元の完全交差 $ f_1=\cdots=f_n=0 $ のミルナー数は、位相的次数から1を引いたものに等しく、これは次元がより高い行列式的特異点へと拡張可能である。
• Minkowski 積とニュートン多面体の幾何学を用いて、結果的特異点のトーリック解消が構成され、不変量の明示的計算が可能になる。
• Cayley のテクニックにより、高次元の多面体複体に持ち上げ、格子点を射影することで、結果的特異点の交差数を計算可能になる。
• 相対的混合体積および一般化された Bernstein 公式は、次元が最大でないニュートン多面体を含む方程式系へと拡張可能であり、特異点論における新たな結果を導く。