[論文レビュー] Determinants on von Neumann algebras, Mahler measures and Ljapunov exponents

Christopher Deninger|ArXiv.org|Dec 5, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、エルゴディック作用に関連する交叉積フォンノイマン代数内の作用素のFuglede-Kadison行列式についての公式を確立し、関連する可測コサイクルのリャプノフ指数を用いてそれを表現する。主な結果は、LindとSchmidtによるヘイゼンベルク群作用のエントロピー公式を一般化し、対数行列式が円周上の正のリャプノフ指数の和の積分に等しいことを示している。非可換多項式が含まれる離散ヘイゼンベルク群フォンノイマン代数への応用を含む。

ABSTRACT

For an ergodic measure preserving action on a probability space, consider the corresponding crossed product von Neumann algebra. We calculate the Fuglede-Kadison determinant for a class of operators in this von Neumann algebra in terms of the Ljapunov exponents of an associated measurable cocycle. The proof is based on recent work of Dykema and Schultz. As an application one obtains formulas for the Fuglede-Kadison determinant of noncommutative polynomials in the von Neumann algebra of the discrete Heisenberg group. These had been previously obtained by Lind and Schmidt via entropy considerations.

研究の動機と目的

• エルゴディック測度保存作用から生じる交叉積フォンノイマン代数内の作用素のクラスのFuglede-Kadison行列式を計算すること。
• Oseledetsの乗法的エルゴディック定理を用いて、可測コサイクルのリャプノフ指数と行列式を関連付けること。
• 離散ヘイゼンベルク群の代数的作用のLindとSchmidtのエントロピー公式を関数解析的導出すること。
• ヘイゼンベルク群の群フォンノイマン代数における非可換多項式への行列式公式を拡張すること。

提案手法

• 有限フォンノイマン代数におけるFuglede-Kadison行列式を、忠実な正規有限トレースを用いて用いる。
• 作用素 $ \rho $ に関連する行列コサイクル $ A_{\rho} $ にOseledetsの乗法的エルゴディック定理を適用する。
• DykemaとSchultzのアルツェッジ変換およびブラウン測度に関する研究を用いて、行列式とリャプノフ指数を関連付ける。
• マーガリスの方法を用いて一般ケースを連続ケースに還元し、一意的エルゴディック系における一様収束を活用する。
• 離散ヘイゼンベルク群のフォンノイマン代数 $ \mathcal{N}\Gamma $ を回転代数 $ \mathcal{R}_\zeta $ への直接積分解釈に用いる。
• 分解可能作用素に対して $ \log\det_{\mathcal{M}}\Phi = \int_Z \log\det_{\mathcal{M}_\zeta}\Phi_\zeta \, d\mu(\zeta) $ というトレース公式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散ヘイゼンベルク群フォンノイマン代数における非可換多項式のFuglede-Kadison行列式は、どのように計算できるか？
• RQ2 可測コサイクルのリャプノフ指数と交叉積フォンノイマン代数におけるFuglede-Kadison行列式との正確な関係は何か？
• RQ3 LindとSchmidtによる代数的 $ \Gamma $-作用のエントロピー公式は、フォンノイマン代数の技法から導出可能か？
• RQ4 対数行列式がリャプノフ指数の正の部分の積分に等しくなる条件は何か？
• RQ5 フォンノイマン代数の直接積分解釈において行列式はどのように振る舞うか？

主な発見

• 離散ヘイゼンベルク群の複素群環における $ \Phi = 1 - a(y,z)x $ に対して、対数Fuglede-Kadison行列式は $ \int_{S^1} \left( \int_{S^1} \log|a(\eta,\zeta)| \, d\mu(\eta) \right)^+ \, d\mu(\zeta) $ に等しい。
• 一般の $ \Phi = \sum_{i=0}^N a_i(y,z)x^i $ に対して、対数行列式は $ \int_{S^1} \sum_j r_j(\zeta) \chi_j(\zeta)^+ \, d\mu(\zeta) $ に等しく、ここで $ \chi_j(\zeta) $ は行列 $ A_{\Phi_\zeta} $ のリャプノフ指数で、重複度は $ r_j(\zeta) $ である。
• この公式は $ S^1 $ 上 $ \mu $-ほとんど everywhere で成り立ち、$ \mu $-ほとんど everywhere で $ \log|a(\cdot,\zeta)| \in L^1(S^1) $ であるため、可積分性が保証される。
• 可積分性のため、可測係数関数 $ a_i $ に対しても、エルゴディック理論的手法を用いて連続ケースに還元することで、公式が拡張可能である。
• 行列式の公式はエントロピー計算と整合性がある：$ \log\det_{\mathcal{N}\Gamma}\Phi = h_\Phi $ であり、これは $ \mathbb{Z}\Gamma / \mathbb{Z}\Gamma\Phi $ のポントリャーギン双対上の $ \Gamma $-作用のエントロピーに一致する。
• $ \mathcal{R}_\zeta $ 内の $ \Phi_\zeta $ のユニタリ性は、$ \mu $-ほとんど everywhere で $ \int_{S^1} \log|a(\eta,\zeta)| \, d\mu(\eta) \neq 0 $ であることと同値である。