[論文レビュー] Determination of convection terms and quasi-linearities appearing in diffusion equations

Pedro Caro, Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 46被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、Lipschitz領域における非滑らか状況下で、側面境界上の測定値から一般化された対流項および準線形項の一意的回復を確立する。Carleman推定式およびグリーン関数型解を用いて、時間的・空間的依存性を持つ一階係数および非線形項の同定の一意性を証明し、非滑らか領域における未解決の逆問題に対して部分的解決を提示する。

ABSTRACT

We consider the highly nonlinear and ill-posed inverse problem of determining some general expression $F(x,t,u, abla_xu)$ appearing in the diffusion equation $\partial_tu-Δ_x u+F(x,t,u, abla_xu)=0$ on $Ω imes(0,T)$, with $T>0$ and $Ω$ a bounded open subset of $\mathbb R^n$, $n\geq2$, from measurements of solutions on the lateral boundary $\partialΩ imes(0,T)$. We consider both linear and nonlinear expression of $F(x,t,u, abla_xu)$. In the linear case, the equation can be seen as a convection-diffusion equation and our inverse problem corresponds to the unique recovery, in some suitable sense, of a time evolving velocity field associated with the moving quantity as well as the density of the medium in some rough setting described by non-smooth coefficients on a Lipschitz domain. In the nonlinear case, we prove the recovery of more general quasi-linear expression appearing in a nonlinear parabolic equation associated with more complex model. Here the goal is to determine the underlying physical low of the system associated with our equation. In this paper, we consider for what seems to be the first time the unique recovery of a general vector valued first order coefficient, depending on both time and space variable. Moreover, we provide results of full recovery of some general class of quasi-linear terms admitting evolution inside the system independently of the solution from measurements at the boundary. These last results improve earlier works of Isakov in terms of generality and precision. In addition, our results give a partial positive answer, in terms of measurements restricted to the lateral boundary, to an open problem posed by Isakov in his classic book ( extit{Inverse Problems for Partial Differential Equations}) extended to the recovery of quasi-linear terms.

研究の動機と目的

• 境界測定値から一般化された対流項および準線形項を一意的に特定する逆問題に取り組む。
• 非滑らかでLipschitz領域における時間的・空間的依存性を持つベクトル場および非線形項の回復により、先行研究を拡張する。
• Isakovが提起した、側面境界データからの準線形項回復に関する未解決問題に対して部分的肯定的解答を提供する。
• 解とは独立に変化する広範な非線形性のクラスについて、一意的回復を確立し、以前の研究を改善する。
• 側面境界測定値のみを用いて、対流拡散方程式および非線形放物型方程式における係数の一意的同定を確立する。

提案手法

• 負の順位のソボレフ空間におけるCarleman推定式を用いて、特定の漸近的性質を有する複素幾何学的光学（GO）解を構成する。
• 線形化手順を用いて、準線形逆問題を一連の線形逆問題に還元する。
• 放物型方程式の唯一性継続性性質を適用し、係数回復における誤差項の消滅を導出する。
• 測定演算子としてディリクレ・トゥ・ノイマン（DN）写像を用い、データを側面境界 Σ に制限する。
• 振動する位相を有する解を構築し、漸近的解析を用いて係数情報の抽出を行う。
• GO解展開および境界トレース解析から得られる一階および零階係数の構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的・空間的依存性を持ち非滑らかである場合の一般化された対流項 $ A(x,t) \cdot \nabla_x u $ が、側面境界測定値から一意的に回復可能か。
• RQ2 $ u $ および $ \nabla_x u $ に依存し、それらの導関数も含む準線形項 $ F(x,t,u,\nabla_x u) $ が、境界データから一意的に特定可能か。
• RQ3 全領域データが得られない状況下で、非線形放物型方程式の逆問題が、側面境界測定値のみを用いてどの程度解けるか。
• RQ4 Lipschitz領域上に非滑らか係数が存在する場合、このような逆問題における係数回復の一意性にどのような影響を与えるか。
• RQ5 本研究の結果を、解とは独立に変化する係数の回復にまで拡張可能か、以前の研究の範囲を超えて。

主な発見

• 本稿は、非滑らかかつ時間依存性を持つベクトル場 $ A(x,t) $ が、側面境界測定値から一意的に回復可能であることを証明する。
• 境界データから準線形項 $ F(x,t,u,\nabla_x u) $ の一意的同定を確立し、時間に依存しないまたは抽象的に定義された非線形項に限られていた先行研究を拡張する。
• 著者らは、$ \partial_u F_1(x,t,0,0) = \partial_u F_2(x,t,0,0) $ および $ \partial_v F_1(x,t,0,0) = \partial_v F_2(x,t,0,0) $ を示し、線形化係数の完全な回復を示す。
• 放物型方程式の唯一性継続性性質を用いて、解の差が消えることを証明し、線形化系において $ A_1 = A_2 $ および $ q_1 = q_2 $ を得る。
• 結果として、Isakovの未解決問題（2017年書籍の問題9.6）に対する部分的解決が得られる。
• フレームワークは、領域がLipschitzに限られ、係数が $ L^\infty $ に属する場合でも係数の回復を可能にする。これにより、逆問題手法の適用範囲が著しく拡大される。