[論文レビュー] H\\"older stably determining the time-dependent electromagnetic potential of the Schr\\"odinger equation

Yavar Kian, Éric Soccorsi|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 34被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、磁気ポテンシャルの発散が既知であるという仮定の下で、シュレーディンガー方程式における時間的・空間的依存性を示す電磁ポテンシャルのホルダー安定回復を境界測定値から確立する。複素幾何学的オプティクス解とブフゲイム＝クリバンフ法を用いて、逆問題における典型的な対数的安定性よりも優れたホルダー型安定性推定式が得られる。

ABSTRACT

We consider the inverse problem of determining the time and space dependent electromagnetic potential of the Schr\\"odinger equation in a bounded domain of $\\mathbb R^n$, $n\\geq 2$, by boundary observation of the solution over the entire time span. Assuming that the divergence of the magnetic potential is fixed, we prove that the electric potential and the magnetic potential can be H\\"older stably retrieved from these data, whereas stability estimates for inverse time-dependent coefficients problems of evolution partial differential equations are usually of logarithmic type.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー方程式における時間的・空間的依存性を示す電磁ポテンシャルを境界観測値から同定する逆問題に対処すること。
• ゲージ不変性の障害を克服するため、磁気ポテンシャルの発散を固定することで、ゲージ同値性の意味での一意的回復を可能にすること。
• 逆問題に対してホルダー型安定性推定式を確立することにより、発展型偏微分方程式の逆問題における一般的な対数的安定性よりも強い安定性を達成すること。
• シュレーディンガー方程式の逆係数問題における既存の安定性結果を、より高い正則性と安定性を持つ時間的変動する電磁ポテンシャルへと拡張すること。

提案手法

• 振動する位相を有する複素幾何学的オプティクス（CGO）解を用いて、シュレーディンガー方程式の特別な解を構成する。
• カルレマン推定式と解の差に関するエネルギー推定式を用いて、ブフゲイム＝クリバンフ法により安定性推定式を導出する。
• ゲージ変換の議論を適用し、磁気ポテンシャルの発散が固定された問題に帰着させる。
• 補間とソボレフ埋め込みを用いて、差のDNマップのL²ノルムを用いてポテンシャルのL∞ノルムを評価する。
• 差のDNマップを用いて、電磁ポテンシャルのフーリエ変換に関する推定式を導出する。
• 周波数τ、波動ベクトルξ、正則化パラメータなどのパラメータを最適化し、誤差項をバランスさせ、ホルダー安定性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー方程式における時間的・空間的依存性を示す電磁ポテンシャルは、解の境界測定値から安定に再構成可能か？
• RQ2 この逆問題に対して達成可能な安定性推定式の種類は何か？ そして、発展型PDEの逆問題における標準的な対数的安定性と比べてどう異なるか？
• RQ3 磁気ポテンシャルの発散を固定することは、再構成の一意性と安定性にどのように影響するか？
• RQ4 境界データを用いて、シュレーディンガー方程式における時間的変動する電磁ポテンシャルに対してホルダー安定性を達成できるか？
• RQ5 複素幾何学的オプティクス解とブフゲイム＝クリバンフ法は、改善された安定性推定式を達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 著者らは、ディリクレ・トゥ・ノイマンマップからの時間的・空間的依存性を示す電磁ポテンシャルの逆問題に対して、ホルダー型安定性推定式を確立した。
• 安定性推定式は、\|A\|_{L^2(0,T;H^5(\Omega))^n} \leq C \epsilon^r および \|q\|_{L^2(Q)} \leq C \|\Lambda_{A_1,q_1} - \Lambda_{A_2,q_2}\|^r の形をとり、r = \frac{1}{346 + 9n} である。これはホルダー安定性を示している。
• この結果は、発展型偏微分方程式の逆問題における一般的な対数的安定性を改善し、より強いホルダー型の境界を達成している。
• 安定性推定式は、磁気ポテンシャルの発散が既知であるという仮定の下で導出されており、これによりゲージ不変性が破れ、一意的回復が可能になる。
• 証明は、複素幾何学的オプティクス解の構成と、DNマップの差を用いた周波数領域におけるポテンシャルの制御に依存している。
• 最終的な安定性推定式は、パラメトリック構成におけるパラメータの最適化と、カルレマン推定式フレームワーク内の誤差項のバランスを取ることで得られた。