[論文レビュー] Determining a fractional Helmholtz system with unknown source and medium parameter

Xinlin Cao, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、外部測定を用いて、分数階ヘルムホルツ系における未知の内部源と媒質パラメータを同時に回復する際の一意性結果を確立する。低周波数漸近解析とランゲ近似性質を活用することで、源関数と媒質パラメータが、周波数依存の源と未知の媒質がある場合でも、多周波数ディリクレ・トゥ・ノイマンデータから一意に特定可能であることを証明する。

ABSTRACT

We are concerned with an inverse problem associated with the fractional Helmholtz system that arises from the study of viscoacoustics in geophysics and thermoviscous modelling of lossy media. We are particularly interested in the case that both the medium parameter and the internal source of the wave equation are unknown. Moreover, we consider a general class of source functions which can be frequency-dependent. We establish several general uniqueness results in simultaneously recovering both the medium parameter and the internal source by the corresponding exterior measurements. In sharp contrast, these unique determination results are unknown in the local case, which would be of significant importance in thermo- and photo-acoustic tomography.

研究の動機と目的

• 未知の内部源と媒質パラメータを有する分数階ヘルムホルツ系における逆問題を扱う。
• 源と媒質の両方が未知であり、源が周波数に依存する場合の同時回復の一意性結果を確立する。
• 低周波数データを用いて、源が媒質パラメータに依存せずに一意に特定可能であることを示す。
• 全周波数帯域の多周波数データを用いて、源関数に依存せずに媒質パラメータが一意に回復可能であることを証明する。
• 結果を、音速と源項を回復する viscoacoustic モデルなどの実用的応用に拡張する。

提案手法

• 解の低周波数漸近挙動を分析し、ω = 0 における源と媒質パラメータに関する情報を抽出する。
• 非局所作用素 (−∇·(σ∇))ˢ のランゲ近似性質を適用し、L²(Ω) 内で稠密な近似列を構成する。
• コンact埋め込み定理と強い一意性性質を用いて、分数階ソボレフ空間における解の挙動を分析する。
• 解の差とパラメータの差を含む積分恒等式を導出し、パラメータの差が消えることを導出する。
• 複数周波数の外部領域におけるディリクレ・トゥ・ノイマン写像 Λ^ω_{q,p} を用いて境界測定値を符号化する。
• p(x,ω) が ω に関して C³ であるという仮定を用い、漸近極限から初期データ p(x,0) と ∂p/∂ω(x,0) を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 媒質パラメータ q が未知である場合、外部測定から内部源項 p(x,ω) を一意に回復できるか？
• RQ2 源 p が未知である場合、多周波数外部データから媒質パラメータ q を一意に回復できるか？
• RQ3 ディリクレ・トゥ・ノイマン写像の低周波数漸近挙動が、源と媒質パラメータを一意に特定できるか？
• RQ4 源と媒質の両方が事前に分かっていない状態で、外部測定のみを用いて両者の同時回復が可能か？
• RQ5 結果は、周波数依存の源を有する viscoacoustics のような物理的モデルへ拡張可能か？

主な発見

• p が ω に関して C³ である限り、ω ∈ (0, ω₀) のディリクレ・トゥ・ノイマンデータから源関数 p(x,ω) が一意に特定可能である。具体的には、p(x,0) と ∂p/∂ω(x,0) が一意に回復可能である。
• p₁−p₂ の ω = 0 における2階微分が消え、かつすべての ψ ∈ C_c^∞(𝒪₁) と ω ∈ (0, ω₀) に対してディリクレ・トゥ・ノイマンデータが一致する場合、媒質パラメータ q は一意に特定可能である。
• 源の回復は q に依存しない：外部測定から源を回復するには媒質の知識が不要である。
• 媒質パラメータ q の回復は p に依存しない：源が既知であるか、または ω = 0 における p の2階微分が消えるならば、q はデータから一意に回復可能である。
• 結果は物理的モデルに適用可能である：p(x,ω) = iωf(x)/c² + g(x)/c² かつ q = −1/c² の場合、f, g, c はすべて一意に回復可能である。
• p が ω に関して C³ でない場合でも、たとえば h̃(x,ω) = ρ(x)κ(ω) で κ(0) が既知かつ非ゼロである場合、定理 1.1 及びその証明構造を用いて ρ(x) は依然として一意に回復可能である。