[論文レビュー] Deterministic and probabilistic algorithms for stabilizing discrete-time switched linear systems

Atreyee Kundu, Niranjan Balachandran+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、重み付き有向グラフを用いて離散時間スイッチング線形システムにおける安定化スイッチング信号の合成のための決定的および確率的アルゴリズムを提示する。スイッチング信号をグラフ上のウォークとしてモデル化し、グラフ論的およびマルティングルールに基づく解析（アズマの不等式を含む）を適用することで、安定性の十分条件を確立し、安定化スイッチング列の発生確率に関する確率的バウンドを提供する。これにより、平均停留時間制約を要しない従来の漸近的スイッチング条件の研究を拡張する。

ABSTRACT

In this article we study algorithmic synthesis of the class of stabilizing switching signals for discrete-time switched linear systems proposed in [12]. A weighted digraph is associated in a natural way to a switched system, and the switching signal is expressed as an infinite walk on this weighted digraph. We employ graph-theoretic tools and discuss different algorithms for designing walks whose corresponding switching signals satisfy the stabilizing switching conditions proposed in [12]. We also address the issue of how likely/generic it is for a family of systems to admit stabilizing switching signals, and under mild assumptions give sufficient conditions for the same. Our solutions have both deterministic and probabilistic flavours.

研究の動機と目的

• 離散時間スイッチング線形システムに対して、不安定なサブシステムを含む場合でも安定化スイッチング信号のアルゴリズム的合成を扱う。
• すべてのサブシステムがシュール安定でない場合を含め、このような安定化信号が存在する条件を特定する。
• スイッチング信号の漸近的性質に基づき、安定化スイッチング列の検出または設計のための決定的および確率的アルゴリズムを開発する。
• 確率的ツール（例：アズマの不等式）を用いて、弱い仮定のもとで安定化スイッチング信号の存在確率を定量化する。
• [12]の枠組みを拡張し、計算的に取り扱いやすいグラフベースの手法を提供することで、安定化スイッチング信号の検証および構築を可能にする。

提案手法

• スイッチングシステムを、ノードがサブシステムを表し、エッジがそれらの間の遷移を表す重み付き有向グラフ（digraph）としてモデル化する。
• 文献[12]から導かれる漸近的条件を満たす無限ウォークとして、安定化スイッチング信号のクラスを定義し、点での停留時間制約を回避する。
• グラフ論的ツールを用いて、安定サブシステムの部分グラフ（$\mathcal{P}_S$）における長さが少なくとも $\lfloor \Phi(|\mathcal{P}_S|) \rfloor$ であるサイクルを同定する。
• ウォークの重みプロセスにドゥーブの分解を適用し、マルティングルールと厳密に減少する補正項に分離することで、確率的解析を可能にする。
• マルティングルール成分にアズマの不等式を適用し、合計重みがゼロを超える確率の上界を導出し、高い確率で安定性を保証する。
• Algorithm 1 を設計し、$\mathcal{P}_S$ における十分な長さのサイクルを検出する。これにより、安定化スイッチング列に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間スイッチング線形システムの族が、[12]の漸近的条件を満たす安定化スイッチング信号を有する条件は何か？
• RQ2 このような安定化スイッチング信号を、計算的に効率的な方法でどのようにアルゴリズム的に検出または合成できるか？
• RQ3 重み付き有向グラフ上のウォークとして表現されるランダムに選ばれたスイッチング信号が、システムの安定性をもたらす確率は何か？
• RQ4 特に、安定サブシステムのインデグリの構造が、安定化スイッチング列の存在とその発生確率にどのように影響するか？
• RQ5 平均停留時間制約が存在しない状況において、アズマの不等式のような確率的ツールを効果的に適用し、安定化スイッチング信号の失敗確率をバウンドできるか？

主な発見

• 安定サブシステムの部分グラフ（$\mathcal{P}_S$）に長さが少なくとも $\lfloor \Phi(|\mathcal{P}_S|) \rfloor$ であるサイクルが存在する場合、安定化スイッチング信号が存在する。ここで $\Phi$ はシステムの漸近的性質に依存する関数である。
• Algorithm 1 は、$\mathcal{P}_S$ におけるこのようなサイクルを検出でき、安定化スイッチング信号を構築するための決定的手法を提供する。
• 重み付き有向グラフ上のランダムウォークが安定化スイッチング信号をもたらす確率は、$\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{(α-β)\sqrt{n}}{A+B}\right)^2\right)$ で上界が与えられる。ここで $\alpha < \beta$ は重みパラメータ、$n$ はサイクル長である。
• 失敗確率のバウンドは、サイクル長の平方根に比例して指数的に減少するため、より長いサイクルは安定性の確率を顕著に高める。
• 本手法は、半定値計画法や平均停留時間制約の必要性を回避しており、従来の手法に比べて数値的により単純な代替手法を提供する。
• 一部のサブシステムが不安定であっても、安定なサブシステムがグラフ表現において十分に豊かでかつ連結である限り、この枠組みは適用可能である。