[論文レビュー] Deterministic graph connectivity in the broadcast congested clique

Pedro Montealegre, Ioan Todinca|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2016

Interconnection Networks and Systems参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、部分線形メッセージサイズを有するブロードキャストコンフリクトクリークモデルにおけるグラフ連結性のための、初めての決定的定数ラウンドプロトコルを提示する。本稿では、効率的なd-プリーニングを可能にする、新規の決定的スパース線形スケッチ技術を導入し、⌈1/ε⌉ラウンドで連結性を達成する。各ラウンドあたりO(n^ε log n)ビットを用い、ノードがrホップ近傍を把握している場合には1ラウンドで連結性を達成する。この場合、各ラウンドあたりO(n^{1/r} log n)ビットを用いる。

ABSTRACT

We present deterministic constant-round protocols for the graph connectivity problem in the model where each of the $n$ nodes of a graph receives a row of the adjacency matrix, and broadcasts a single sublinear size message to all other nodes. Communication rounds are synchronous. This model is sometimes called the broadcast congested clique. Specifically, we exhibit a deterministic protocol that computes the connected components of the input graph in $\lceil 1/ε ceil$ rounds, each player communicating $\mathcal{O}(n^ε \cdot \log n)$ bits per round, with $0 < ε\leq 1$. We also provide a deterministic one-round protocol for connectivity, in the model when each node receives as input the graph induced by the nodes at distance at most $r>0$, and communicates $\mathcal{O}(n^{1/r} \cdot \log n)$ bits. This result is based on a $d$-pruning protocol, which consists in successively removing nodes of degree at most $d$ until obtaining a graph with minimum degree larger than $d$. Our technical novelty is the introduction of deterministic sparse linear sketches: a linear compression function that permits to recover sparse Boolean vectors deterministically.

研究の動機と目的

• 部分線形メッセージサイズを有するブロードキャストコンフリクトクリークモデルにおける、グラフ連結性の決定的プロトコルの設計。
• 先行の確率的プロトコルの制限を克服し、ラウンド数およびメッセージ量の上限が保証された決定的代替手法を導入すること。
• 連結性構造を保持したまま低次数ノードを効率的に除去する、新規のd-プリーニングプロトコルの開発。
• ノードがrホップ近傍にアクセスできる場合に1ラウンドで連結性計算を実行可能にする。これにより、先行手法に比べてラウンド複雑度が向上する。
• スパースブールベクトルの正確な回復を可能にする決定的スパース線形スケッチ技術の導入。これは連結性を超える応用分野にも潜在的応用を有する。

提案手法

• 度数がd以下のノードを繰り返し除去するd-プリーニングプロトコルを提案。ノードの近傍情報を回復するために決定的線形圧縮関数を用いる。
• シュワーツ・ジッベル補題に基づくデランドマイズされたフィンガープrint技法を導入。これにより、dスパースブールベクトルを一意に特定する線形スケッチが構築可能となる。
• スケッチ関数の単射性を活用し、圧縮されたメッセージから低次数ノードの近傍を再構成可能とする。
• d-プリーニングプロトコルを複数ラウンドの連結性プロトコルのサブルーチンとして適用。各ラウンドで隣接ノードのブロードキャストにより連結成分をマージする。
• 1ラウンドモデルでは、各サイクル長≤2rに対して最大エッジを選択することでエッジ削減グラフG̃を計算する。GとG̃は同じ連結性を有することを活用する。
• ゴージャン数≥2rのグラフに対しては、degeneracyがO(n^{1/r})であることを用い、d=O(n^{1/r})としてd-プリーニングプロトコルを1ラウンドで適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロードキャストコンフリクトクリークモデルにおいて、部分線形メッセージサイズと定数ラウンドで、グラフ連結性を決定的に解けるか？
• RQ2 最適なメッセージ量O(d log n)を達成するd-プリーニングの決定的プロトコルを設計可能か？
• RQ3 ノードがrホップ近傍にアクセスできる場合に、1ラウンドで連結性問題を解けるか。最適なメッセージサイズは何か？
• RQ4 決定的線形スケッチは、分散計算におけるスパースブールベクトルの圧縮に果たす役割は何か？
• RQ5 d-プリーニングプロトコルは、二部グラフ検出や動的グラフストリーミングなどの他のグラフ問題に適応可能か？

主な発見

• BClique[n^ε log n]モデルにおいて、⌈1/ε⌉ラウンドの決定的プロトコルが達成され、各ノードが1ラウンドあたりO(n^ε log n)ビットを送信する。
• BClique_r[n^{1/r} log n]モデルにおいて、1ラウンドの決定的プロトコルが提示され、各ノードがrホップ近傍を把握している。
• d-プリーニングプロトコルは1ラウンドで実行され、ノード1つあたりO(d log n)ビットを要する。これは、d-退化グラフの指数的多数を考慮すると、対数要因を除いて最適である。
• 提案されたスパース線形スケッチ技術により、1つの線形関数に基づき、デランドマイズされたフィンガープリント法を用いてdスパースブールベクトルの決定的回復が可能となる。
• プロトコルにより、プリーニング後のグラフのスパニングフォレストが元のグラフと同一であり、連結性構造が保持される。
• 本手法は、二部グラフ検出の検出や、O(nd log n)のメモリを要する動的グラフストリーミングモデルへの応用が可能である。