[論文レビュー] Deterministic Sparse Fourier Transform with an ell_infty Guarantee

Yi Li, Vasileios Nakos|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2019

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 63被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ℓ∞/ℓ1回復保証を備えた最初の決定的スパースフーリエ変換アルゴリズムを提示する。サンプル数はO(k² log n)、実行時間はO(nk log² n)を達成する。指数和の上限とベルンシュタインの不等式を用いた新たな確率的除去による非一様行列の構築法を導入し、最良のランダム化性能を達成する一方で、スパースフーリエ信号の決定的サンプリングと回復を保証する。

ABSTRACT

In this paper we revisit the deterministic version of the Sparse Fourier Transform problem, which asks to read only a few entries of x ∈ ℂⁿ and design a recovery algorithm such that the output of the algorithm approximates x̂, the Discrete Fourier Transform (DFT) of x. The randomized case has been well-understood, while the main work in the deterministic case is that of Merhi et al. (J Fourier Anal Appl 2018), which obtains O(k² log^(-1) k ⋅ log^5.5 n) samples and a similar runtime with the 𝓁₂/𝓁₁ guarantee. We focus on the stronger 𝓁_∞/𝓁₁ guarantee and the closely related problem of incoherent matrices. We list our contributions as follows. 1) We find a deterministic collection of O(k² log n) samples for the 𝓁_∞/𝓁₁ recovery in time O(nk log² n), and a deterministic collection of O(k² log² n) samples for the 𝓁_∞/𝓁₁ sparse recovery in time O(k² log³n). 2) We give new deterministic constructions of incoherent matrices that are row-sampled submatrices of the DFT matrix, via a derandomization of Bernstein’s inequality and bounds on exponential sums considered in analytic number theory. Our first construction matches a previous randomized construction of Nelson, Nguyen and Woodruff (RANDOM'12), where there was no constraint on the form of the incoherent matrix. Our algorithms are nearly sample-optimal, since a lower bound of Ω(k² + k log n) is known, even for the case where the sensing matrix can be arbitrarily designed. A similar lower bound of Ω(k² log n/ log k) is known for incoherent matrices.

研究の動機と目的

• 強いℓ∞/ℓ1回復保証を備えた決定的スパースフーリエ変換アルゴリズムの開発。
• DFT行列の部分行列としての決定的非一様行列の構築、効率的なスパース回復を可能にする。
• ランダム化と決定的スパースフーリエ変換の間のギャップを埋め、ほぼ最適なサンプル複雑度を達成する。
• 解析的数論と指数和推定の道具を用いて、既存のランダム化構成の代替となる確率的除去の代替を提供する。

提案手法

• ベルンシュタインの不等式を確率的除去することで、スパースフーリエ回復のための決定的サンプリング集合を構築する。
• 解析的数論における指数和の上限を用いて、サンプリング行列の非一様性を保証する。
• 生成子の性質と部分群構造を活用して、Z_p^* の乗法的部分群に基づくサンプリング集合を構築する。
• O(k² log n)のエントリをサンプリングし、O(nk log² n)時間で信号を回復する決定的アルゴリズムを導出する。
• 群論的および数論的道具を用いて、すべての周波数インデックスペアにわたる一様な非一様性を保証する。
• アロンの非一様性結果に基づく新しい下界の議論を用いて、サンプル複雑度の近似的最適性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的スパースフーリエ変換アルゴリズムは、ほぼ最適なサンプル複雑度でℓ∞/ℓ1回復保証を達成できるか？
• RQ2 どのような決定的サンプリング集合が、強いℓ∞/ℓ1保証を満たすスパース回復を可能にする非一様行列を生成するか？
• RQ3 ランダム化構成の確率的除去は、スパースフーリエ変換において最適な決定的アルゴリズムを導くことができるか？
• RQ4 Z_p^* における指数和の上限と群構造は、非一様行列の構築にどのように寄与するか？
• RQ5 スパースフーリエ回復のための決定的サンプリングの理論的限界は何か？そして決定的アルゴリズムはどの程度その限界に近づけるか？

主な発見

• 本稿では、決定的ℓ∞/ℓ1スパースフーリエ回復において、O(k² log n)のサンプル数とO(nk log² n)の実行時間を達成した。
• DFT行列からの行サンプリングを用いた決定的非一様行列の構築を提供し、既存の最良のランダム化性能と一致する。
• Z_p^* の乗法的部分群と指数和の上限を用いて、非一様性を保証する。
• サンプル複雑度はほぼ最適であり、既知のΩ(k² + k log n)の下界と対数因子を除いて一致する。
• 先行の決定的研究がℓ2/ℓ1のみを達成していたのに対し、本研究はより強いℓ∞/ℓ1保証を達成した。
• ある条件下で、任意のこのような構成がΩ(√|S| log|S| n)の成長を満たさなければならないことを示す、新しい指数和の下界を確立した。