[論文レビュー] Deterministic Zeckendorf Games

Ruoci Li, Xiaonan Li+5 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確定的ゼッケンドルフゲームにおける手数の上界を $3n - 3Z(n) - IZ(n) + 1$ に改善し、既知の下界 $n - Z(n)$ と同一のオーダーに一致させた。また、4つの確定的変種—Combine Largest、Split Largest、Combine Smallest、Split Smallest—を分析し、Split Smallest が最長のゲームを実現し、Combine Largest/Split Largest が最小のゲーム長を達成することを示した。

ABSTRACT

Zeckendorf proved that every positive integer can be written uniquely as the sum of non-adjacent Fibonacci numbers. We further explore a two-player Zeckendorf game introduced in Baird-Smith, Epstein, Flint, and Miller: Given a fixed integer $n$ and an initial decomposition of $n = nF_1$, players alternate using moves related to the recurrence relation $F_{n+1} = F_n + F_{n_1}$, and the last player to move wins. We improve the upper bound on the number of moves possible and show that it is of the same order in $n$ as the lower bound; this is an improvement by a logarithm over previous work. The new upper bound is $3n - 3Z(n) - IZ(n) + 1$, and the existing lower bound is sharp at $n - Z(n)$ moves, where $Z(n)$ is the number of terms in the Zeckendorf decomposition of $n$ and $IZ(n)$ is the sum of indices in the same Zeckendorf decomposition of $n$. We also studied four deterministic variants of the game, where there was a fixed order on which available move one takes: Combine Largest, Split Largest, Combine Smallest and Split Smallest. We prove that Combine Largest and Split Largest realize the lower bound. Split Smallest has the largest number of moves over all possible games, and is close to the new upper bound. For Combine Split games, the number of moves grows linearly with $n$.

研究の動機と目的

• ゼッケンドルフゲームにおける手数の上界を精緻化し、既知の下界との差を縮小すること。
• 手順の順序が固定されたゼッケンドルフゲームの確定的変種を分析し、戦略的選択なしにゲームのダイナミクスを理解すること。
• どの確定的変種が最小および最大の手数を達成するかを特定し、ゲーム長の増加率を理解すること。
• 分割手数の線形増加に関する予想と、確率的ゲームにおける手数の分布を支援すること。
• 将来の研究の基盤を築くこと—勝利戦略、多人数拡張、ゲーム長の統計的性質の研究。

提案手法

• ゼッケンドルフ分解と手順列の組合せ的解析を用いて、ゲーム長に対する新たな上界を導出する。
• 4つの確定的ゲーム変種—Combine Largest、Split Largest、Combine Smallest、Split Smallest—を定義し、それぞれ固定された手順順序を有する。
• Combine Largest および Split Largest が最小の手数を達成することを証明し、理論的下界 $n - Z(n)$ と一致することを示す。
• Split Smallest が最長のゲームを生成し、新たな上界 $3n - 3Z(n) - IZ(n) + 1$ に近づくことを示す。
• 帰納的証明を用いて、すべての中間ゲーム状態が一意なインデックス表現（$i \geq 2$ の繰り返しインデックスなし）を維持することを証明する。
• 大規模な数値シミュレーションと確率的ゲームにおける手数の統計的分布を分析し、結果を正規分布および線形モデルにフィットさせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼッケンドルフゲームにおける手数の最もきつい上界は何か？
• RQ2 どの確定的手順順序が最長および最短のゲームを生じさせ、その理由は何か？
• RQ3 分割手数は $n$ に対して線形に増加するか？ もしそうなら、漸近定数は何か？
• RQ4 確率的ゲームにおける手数の分布はどのようなものか？ そして、正規分布と一致するか？
• RQ5 すべての $n$ に対して、確定的手順順序を用いて最小および最大のゲーム長を正確に特徴づけられるか？

主な発見

• ゲーム長の新たな上界は $3n - 3Z(n) - IZ(n) + 1$ であり、以前の $O(n \log n)$ の上界と比べて顕著に改善された。
• 下界 $n - Z(n)$ の手数は鋭く、Combine Largest および Split Largest の確定的変種によって達成される。
• Split Smallest 変種は最長のゲームを生成し、新たな上界に非常に近づく。
• Combine Smallest および Split Smallest ゲームにおいて、手数は $n$ に対して線形に増加し、定数はそれぞれ約 $1.206$ および $\phi^2 \approx 2.618$ である。
• すべてのゲームで、結合手数は $n - Z(n)$ に等しく、これは補題 3.3 で証明された。
• $n = 1,000,000$ の確率的ゲームを 10,000 回シミュレートした結果、正規分布に極めて良いフィットが得られ、手数分布がガウス型であるという予想を支持する。