[論文レビュー] Deviations from the Area Law for Supersymmetric Black Holes

Gabriel Lopes Cardoso, Bernard de Wit+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、$N=2$ および $N=4$ ヒエテロティック compactification における超対称ブラックホールの双対性不変なエントロピー公式を、ウィルスンの有効作用への非正則補正を組み込むことで提案する。Bekenstein-Hawking の面積則が高次微分項によって修正されることを示し、prepotential 関数への双対性共変な正則および非正則補正を用いて、微視的ストリング状態数と一致するマクロなエントロピー公式を導出する。

ABSTRACT

We review modifications of the Bekenstein-Hawking area law for black hole entropy in the presence of higher-derivative interactions. In four-dimensional N=2 compactifications of string theory or M-theory these modifications are crucial for finding agreement between the macroscopic entropy obtained from supergravity and the microscopic entropy obtained by counting states in string or M-theory. Our discussion is based on the effective Wilsonian action, which in the context of N=2 supersymmetric theories is defined in terms of holomorphic quantities. At the end we briefly indicate how to incorporate non-holomorphic corrections.

研究の動機と目的

• 超対称ブラックホールにおけるマクロな超重力エントロピーと微視的ストリング状態数の不一致を解消すること。
• ストリング理論／M理論の $N=2$ compactification において、Bekenstein-Hawking の面積則を高次微分項を含む形に拡張すること。
• 正則 prepotential に非正則補正を組み込むことで、強弱双対性不変なエントロピー公式を導出すること。
• 超重力からのマクロなエントロピーと D-brane や M-brane の状態数からの微視的エントロピーを一致させること。
• ブラックホールエントロピーの文脈において、ウィルスンの結合定数（正則）と物理的有効結合定数（非正則）の違いを明確にすること。

提案手法

• 高次微分場理論におけるノネル・ポテンシャルからのノネル電荷としてのブラックホールエントロピーを、Wald の表面電荷形式を用いて導出する。
• ホロモーフィック prepotential $F(Y, \bar{Y}, \Upsilon)$ でパrameter化された $N=2$ 超重力の有効ウィルスン作用を適用し、$\mathcal{S} = \pi |Z|^2$ を通じてエントロピーを計算する。
• 双対性不変性を保つために、$F^{(1)}(S, \bar{S}) = -6i \frac{c}{\pi} \left( \log \eta^2(S) + \log(S + \bar{S}) \right)$ を用いて prepotential に非正則補正を導入する。
• ブラックホールの電荷とホライズンにおけるモジュライを結ぶ安定化方程式 $Y^I - \bar{Y}^I = i p^I$ および $F_I - \bar{F}_I = i q_I$ を導出する。
• 非正則項を加えることで、双対性不変なエントロピー公式 $\mathcal{S} = \pi \left[ |Z|^2 - 256 \, \text{Im} \left( F^{(1)} + 3i \frac{c}{\pi} \log(S + \bar{S}) \right) \right]$ を構築する。
• ヒエテロティック $N=4$ compactification における強弱双対性変換のもとで、修正されたエントロピー公式が不変であることを示すことで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効作用における高次微分項（例：$C_{\mu\nu\rho\sigma}^2$）は、超対称ブラックホールの Bekenstein-Hawking の面積則にどのように影響を及けるか？
• RQ2 $N=2$ および $N=4$ に compactified されたストリング理論における、微視的状態数と一致する正しいマクロなエントロピー公式は何か？
• RQ3 なぜウィルスン prepotential は双対性不変なエントロピー計算に不十分であり、非正則補正はどのように双対性を回復させるか？
• RQ4 ブラックホールエントロピーの文脈において、物理的有効結合定数と正則なウィルスン結合定数の違いは何か？
• RQ5 モジュラー形式およびデデキンドのエータ関数は、エントロピー公式への双対性不変補正を構築する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 高次微分項（例：$C_{\mu\nu\rho\sigma}^2$）が存在する場合には Bekenstein-Hawking の面積則が破れるため、修正されたエントロピー公式が必要となる。
• $N=2$ 超対称ブラックホールのマクロなエントロピーは $\mathcal{S} = \pi |Z|^2$ で与えられ、ここで $|Z|^2 = p^I F_I - q_I Y^I$ であり、$F$ は正則 prepotential である。
• ヒエテロティック $N=4$ compactification における強弱双対性不変性を達成するには、prepotential への非正則補正が不可欠である。
• 修正された prepotential は $F(Y, \bar{Y}, \Upsilon) = -\frac{Y^1 Y^a \eta_{ab} Y^b}{Y^0} + F^{(1)}(z^1, \bar{z}^1) \Upsilon$ であり、$F^{(1)}(S, \bar{S}) = -6i \frac{c}{\pi} \left( \log \eta^2(S) + \log(S + \bar{S}) \right)$ である。
• 最終的な双対性不変エントロピー公式は $\mathcal{S} = \pi \left[ |Z|^2 - 256 \, \text{Im} \left( F^{(1)}(S, \bar{S}) + 3i \frac{c}{\pi} \log(S + \bar{S}) \right) \right]$ であり、微視的状態数と一致する。
• ホライズンにおけるダイルトン $S$ は、$Y^I - \bar{Y}^I = i p^I$ および $F_I - \bar{F}_I = i q_I$ の安定化方程式を解くことで決定されるが、一般には明示的に解くのは困難である。