[論文レビュー] Attractors and the Holomorphic Anomaly

Erik Verlinde|ArXiv.org|Dec 14, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用数 63

ひとこと要約

この論文は、トポロジカル弦理論における全純異常とBPSブラックホールの吸引子機構の間の矛盾を、$H^3(M,\mathbb{R})$ のコhomologyにおける実極化の下でトポロジカル弦の分配函数を波動関数として解釈することによって解決する。主な結果は、トポロジカル弦振幅 $\Psi_{\text{top}}$ を用いた、BPSブラックホール状態の簡約度 $\Omega(p,q)$ の背景依存のない公式であり、吸引子方程式に由来する実極化の選択により、全純異常が背景依存性のない形に解消される。

ABSTRACT

Motivated by the recently proposed connection between N=2 BPS black holes and topological strings, I study the attractor equations and their interplay with the holomorphic anomaly equation. The topological string partition function is interpreted as a wave-function obtained by quantizing the real cohomology of the Calabi-Yau. In this interpretation the apparent background dependence due to the holomorphic anomaly is caused by the choice of complex polarization. The black hole attractor equations express the moduli in terms of the electric and magnetic charges, and lead to a real polarization in which the background dependence disappears. Our analysis results in a generalized formula for the relation between the microscopic density of black hole states and topological strings valid for all backgrounds.

研究の動機と目的

• トポロジカル弦理論における全純異常とBPSブラックホールの吸引子機構の調和を図ること。
• BPSブラックホールの分配函数とトポロジカル弦振幅の間の関係における顕著な背景依存性を解消すること。
• トポロジカル弦の分配函数が、全純異常を除去する実極化における波動関数として解釈可能であることを示すこと。
• トポロジカル弦振幅を用いた、BPSブラックホール状態の微視的簡約度 $\Omega(p,q)$ の背景依存のない公式を導出すること。
• 吸引子方程式が、ゲージ依存項を除去する物理的極化を選択する役割を果たすことを明確にすること。

提案手法

• トポロジカル弦の分配函数 $\Psi_{\text{top}}$ を、複素極化における $H^3(M,\mathbb{R})$ の量子化から得られる波動関数として解釈する。
• 全純異常を背景依存の複素極化の結果と特定し、吸引子方程式に由来する実極化の選択によりこれを除去する。
• 吸引子方程式を用いて、電気的・磁気的電荷 $p^I, q_J$ とポテンシャル $\phi^I$ を用いて実極化を定義し、背景依存性を排除する。
• 両極化間の重ね合わせ関係を coherent state 技法と重ね合わせ恒等式を用いて導出し、密度行列の因数分解形を導く。
• 実極化フレームワークを用いて、$\Psi_{\text{top}}$ 及びその共役関数のガウス重み付き積分として式 (63) の新しい $\Omega(p,q)$ の公式を導出する。
• 得られた $\Omega(p,q)$ の式が、背景モジュライの選択に依存しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてトポロジカル弦理論における全純異常をBPSブラックホールの吸引子機構と調和させることができるか？
• RQ2 BPSブラックホールの簡約度とトポロジカル弦振幅の関係における顕著な背景依存性の物理的意味は何か？
• RQ3 トポロジカル弦の分配函数を、背景依存のない実極化における波動関数として解釈できるか？
• RQ4 トポロジカル弦振幅を用いた、BPSブラックホール状態の簡約度 $\Omega(p,q)$ の正しい非摂動的公式は何か？
• RQ5 式 (59) の密度行列 $\hat{\Omega}$ の因数分解形が正確に成立しない理由は何か？これは非摂動的定義にどのような意味を持つのか？

主な発見

• トポロジカル弦の分配函数 $\Psi_{\text{top}}$ は、複素極化における波動関数として解釈され、全純異常はこの選択における背景依存性に起因する。
• 吸引子方程式は、背景依存性を排除する $H^3(M,\mathbb{R})$ の実極化を定義する。
• BPSブラックホールの簡約度 $\Omega(p,q)$ のための新しい公式 (63) が、$\Psi_{\text{top}}$ のガウス積分として導出され、これは背景モジュライの選択に依存しない。
• 吸引子点において、波動関数 $\Psi_{\text{top}}$ は吸引子モジュライ $X_{p,q}$ で評価され、$\Omega(p,q)$ がトポロジカル弦相関関数の摂動的展開として得られる。
• 式 (59) の密度行列 $\hat{\Omega}$ の因数分解形は正確に成立しない可能性が高く、非摂動的整合性のためにはより一般的な密度行列の定式化が必要であることを示唆する。
• この結果は、非摂動的理論の定式化が、単にトポロジカル弦だけでなく、トポロジカル弦と反トポロジカル弦の両方を含む可能性が高いことを示している。