[論文レビュー] Diagonal elements in the Nonnegative Inverse Eigenvalue Problem

Richard Ellard, Helena Šmigoc|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非負固有値問題（NIEP）の重要な側面を解決する。具体的には、与えられた固有値スペクトルに対して、一つの固有値が非負で、他のすべての固有値の実部が非正である非負行列に現れる非負の対角成分の組み合わせがどのようなものかを同定する。本稿は、そのような対角リストが実現可能であるための必要十分条件を示し、それは対角成分の和がトレースと一致し、その二乗和が固有値の二乗和を超えないことである。実現は、コンパニオン行列と対角行列の和として達成される。

ABSTRACT

We say that a list of complex numbers is "realisable" if it is the spectrum of some (entrywise) nonnegative matrix. The Nonnegative Inverse Eigenvalue Problem (NIEP) is the problem of characterising all realisable lists. Although the NIEP remains unsolved, it has been solved in the case where every entry in the list (apart from the Perron eigenvalue) has nonpositive real part. For a given spectrum of this type, we show that a list of nonnegative numbers may arise as the diagonal elements of the realising matrix if and only if these numbers satisfy a remarkably simple inequality. Furthermore, we show that realisation can be achieved by the sum of a companion matrix and a diagonal matrix.

研究の動機と目的

• 与えられたスペクトルを持つ非負行列の対角成分として現れる非負数のリストが満たすべき必要十分条件を特定すること。
• Laffey-Šmigoc定理を含む既知のNIEPの結果を、対角成分に制約を加えることで拡張すること。
• 実現が、コンパニオン行列と対角行列の和として構成可能であることを示すこと。これにより、スペクトル的および対角成分の制約を保ちながら実現が可能となる。
• このような実現可能なスペクトルに対して、可能な対角成分の範囲（最小値と最大値）を特徴づけること。

提案手法

• スペクトルと対角成分の第1および第2のモーメント（$ s_1 $ および $ s_2 $）を用いて、実現可能性の必要十分条件を導出する。
• ニュートンの恒等式を用いて、特性多項式の係数と構造化された行列の対角成分および準対角成分との関係を確立する。
• トレースがゼロであるコンパニオン行列 $ C $ と対角行列 $ D $ の和 $ A = C + D $ として構成された行列を構築し、望ましいスペクトルと対角成分を実現する。
• コーシー・シュワルツの不等式を用いて、対角成分の平均からのずれを制限し、$ s_2 $-ノルムとスペクトル的制約を結びつける。
• 対称関数とモーメントを用いて、準対角成分 $ b_k $ の明示的表現を導出し、非負性を保証する。
• 導出された $ b_k $ 値が提示された不等式のもとで非負であることを示すことにより、実現可能性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の対角成分のリストが、一つの固有値が非負で、他のすべての固有値の実部が非正である与えられたスペクトルを持つ非負行列の対角成分として実現可能であるための条件は何か？
• RQ2 このようなスペクトルの実現が、コンパニオン行列と対角行列の和である行列構造によって達成可能か？
• RQ3 このような実現において、個々の対角成分が取りうる値の範囲は何か？
• RQ4 実現可能な場合に、対角成分のモーメント $ s_1 $ および $ s_2 $ とスペクトルのそれらがどのように関係するか？
• RQ5 行列構造における対角成分の順序は、実現可能性に重要であるか。もしそうなら、その理由は何か？

主な発見

• 固有値 $ ho, ho_2, ho_3, ho_4 $ のリストで $ ho \neq 0 $ かつ $ i \neq 1 $ のとき $ \text{Re}(\rho_i) \neq 0 $ であるものは、非負行列として実現可能であるための必要十分条件は $ s_1(\text{diag}) = s_1(\text{spec}) $ かつ $ s_2(\text{diag}) \neq s_2(\text{spec}) $ である。
• 対角成分 $ a_1, a_2, \text{...}, a_n $ は $ s_1(\text{diag}) = s_1(\text{spec}) $ かつ $ s_2(\text{diag}) \neq s_2(\text{spec}) $ を満たす必要があり、これは実現可能性のための必要十分条件である。
• 実現は、トレースがゼロであるコンパニオン行列 $ C $ と対角行列 $ D $ の和 $ A = C + D $ として可能であり、これにより成分の非負性が保証される。
• 与えられたスペクトルに対して可能な対角成分の最小値および最大値は、それぞれ $ 0 \neq a \neq s_1(\text{spec}) $ および $ (a - s_1/n)^2 \neq (n-1)(ns_2 - s_1^2)/n^2 $ で有界である。
• 対角成分の順序は本質的である：$ a_1 \neq a_2 \neq \text{...} \neq a_n $ が非増加でない場合、得られる行列は非負でない可能性があり、例5.5で示されている。
• JLL条件 $ s_1^2 \neq n s_2 $ が等号で成立する場合、唯一の可能な実現は定数対角成分を持つものである。