[論文レビュー] Diagonal-unitary t-designs and their constructions

Yoshifumi Nakata, Mio Murao|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、位相が一様に分布するランダムな対角ユニタリ行列である対角ユニタリ t-デザインを導入し、N-qubit システムにおける正確および近似 2-デザインを生成する2つの量子回路を提示する。最初の回路は、すべての qubit 組み合わせにランダム化された制御位相ゲートを適用することで、O(N²) ゲートで正確な 2-デザインを実現する。2番目の回路は、ランダムに選択されたペアに制御-Z ゲートを用いて、ϵ-近似 2-デザインを O(N²(N + log 1/ϵ)) ゲートで達成する。これにより、O(N) の古典的ビットで正確なランダム状態 2-デザインを効率的に生成できる。

ABSTRACT

We study efficient generations of random diagonal-unitary matrices, an ensemble of unitary matrices diagonal in a given basis with randomly distributed phases for their eigenvalues. Despite the simple algebraic structure, they cannot be achieved by quantum circuits composed of a few-qubit diagonal gates. We introduce diagonal-unitary $t$-designs and present two quantum circuits that implement diagonal-unitary $2$-designs with the computational basis in $N$-qubit systems. One is composed of single-qubit diagonal gates and controlled-phase gates with randomized phases, which achieves an exact diagonal-unitary $2$-design after applying the gates on all pairs of qubits. The number of required gates is $N(N-1)/2$. If the controlled-Z gates are used instead of the controlled-phase gates, the circuit cannot achieve an exact $2$-design, but achieves an $\epsilon$-approximate $2$-design by applying gates on randomly selected pairs of qubits. Due to the random choice of pairs, the circuit obtains extra randomness and the required number of gates is at most $O(N^2(N+\log1/\epsilon))$. We also provide an application of the circuits, a protocol of generating an exact $2$-design of random states by combining the circuits with a simple classical procedure requiring $O(N)$ random classical bits.

研究の動機と目的

• N-qubit システムにおける一様に分布する位相を持つ対角ユニタリ行列を生成する効率的な量子回路を開発すること。
• 対角ユニタリ行列が少数のキュービットに制限された対角ゲートのみで構築できないという制限を克服すること。
• 最小限のゲート数と古典的ランダムネスで、正確および近似の対角ユニタリ 2-デザインを構築すること。
• 対角ユニタリ回路を用いて、古典的量子ハイブリッドプロトコルにより、O(N) の古典的ビット複雑性で正確なランダム状態 2-デザインを生成すること。

提案手法

• すべてのキュービットペアにランダム化された位相を持つ単一キュービット対角ゲートと制御位相ゲートを適用することで、正確な対角ユニタリ 2-デザインを達成する量子回路を構築する。
• 制御位相ゲートの代わりに制御-Z ゲートを用い、ランダムに選択されたペアを用いることで、ϵ-近似対角ユニタリ 2-デザインを達成する。
• ランダムに選択されたキュービットペアからのランダムネスを活用して、設計の近似品質を向上させ、必要なゲート数を削減する。
• O(N) のランダム古典的ビットを用いた古典的手順を適用し、量子回路の出力を組み合わせることで、正確なランダム状態 2-デザインを生成する。
• ハール測度と一致する1次および2次モーメントを満たすことで、得られた対角ユニタリ行列の集合が 2-デザインを形成することを保証する。
• ゲート複雑性と近似誤差を分析し、ϵ-近似デザインに必要なゲート数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様に分布する位相を持つ対角ユニタリ行列は、局所的な対角ゲートおよび制御位相ゲートから構成される量子回路によって、効率的に生成可能か？
• RQ2 N-qubit システムにおける正確な対角ユニタリ 2-デザインを構築するために必要な最小ゲート数は何か？
• RQ3 制御位相回路におけるキュービットペアのランダム選択は、ゲート数を削減しつつ、ϵ-近似対角ユニタリ 2-デザインを達成可能か？
• RQ4 対角ユニタリ回路を用いて正確なランダム量子状態 2-デザインを生成するには、どの程度の古典的ランダムネスが必要か？
• RQ5 対角ユニタリ t-デザインを構築する際の、ゲート数と近似誤差のトレードオフは何か？

主な発見

• すべてのキュービットペアにランダム化された制御位相ゲートを適用することで、O(N²) ゲートで正確な対角ユニタリ 2-デザインが達成される。
• ランダムに選択されたキュービットペアに制御-Z ゲートを用いることで、最大 O(N²(N + log 1/ϵ)) ゲートで ϵ-近似対角ユニタリ 2-デザインが得られる。
• ランダムペア選択の導入により、完全なエンタングルメントの欠如を補う十分な追加ランダムネスが得られ、有界誤差で近似が可能になる。
• 正確なランダム状態 2-デザインを生成するプロトコルは、量子回路出力と組み合わせることで、O(N) の古典的ランダムビットのみで実現可能である。
• 構成により、少数のキュービットに制限された対角ゲートのみで構成される回路では、対角ユニタリ 2-デザインを実現できないことが示され、制御位相のようなエンタングリングゲートの必要性が明確になった。
• 理論的枠組みにより、特定のゲート適用パターン下で、ランダム位相を持つ対角ユニタリ行列の集合が 2-デザインを形成することが確認された。