[論文レビュー] Diameter computation on $H$-minor free graphs and graphs of bounded (distance) VC-dimension

Guillaume Ducoffe, Michel Habib+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 59被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、定数距離VC次元をもつ無重みグラフの直径を、真の部分二次時間で計算するモンテカルロアルゴリズムを提示する。この手法は、低刺突数のスパニングパスとε-ネット、領域分割を活用し、特に、直径がk以下のグラフに対しては Õ(k·mn¹⁻εd) 時間で動作するパrameterizedアルゴリズムを構築する。主な貢献は、多項式拡張性と定数距離VC次元をもつすべての非稠密およびH-マイナー自由グラフに拡張可能な、真の部分二次時間での直径計算を実現したことである。

ABSTRACT

We propose to study unweighted graphs of constant distance VC-dimension as a broad generalization of many graph classes for which we can compute the diameter in truly subquadratic-time. In particular for any fixed $H$, the class of $H$-minor free graphs has distance VC-dimension at most $|V(H)|-1$. Our first main result is that on graphs of distance VC-dimension at most $d$, for any fixed $k$ we can either compute the diameter or conclude that it is larger than $k$ in time $ ilde{\cal O}(k\cdot mn^{1-\varepsilon_d})$, where $\varepsilon_d \in (0;1)$ only depends on $d$. Then as a byproduct of our approach, we get the first truly subquadratic-time algorithm for constant diameter computation on all the nowhere dense graph classes. Finally, we show how to remove the dependency on $k$ for any graph class that excludes a fixed graph $H$ as a minor. More generally, our techniques apply to any graph with constant distance VC-dimension and polynomial expansion. As a result for all such graphs one obtains a truly subquadratic-time algorithm for computing their diameter. Our approach is based on the work of Chazelle and Welzl who proved the existence of spanning paths with strongly sublinear stabbing number for every hypergraph of constant VC-dimension. We show how to compute such paths efficiently by combining the best known approximation algorithms for the stabbing number problem with a clever use of $\varepsilon$-nets, region decomposition and other partition techniques.

研究の動機と目的

• 有界木幅や平面グラフを超える広範なグラフクラスにおいて、直径計算が真の部分二次時間で可能かどうかを特定すること。
• SETHにおける条件的二次下界を克服するため、定数距離VC次元をもつグラフに焦点を当てる。
• 既存の直径計算の部分二次時間アルゴリズムを、幾何的およびスパarsなグラフクラス（すべての非稠密およびH-マイナー自由グラフを含む）に一般化すること。
• 多項式拡張性と定数距離VC次元をもつグラフにおいて、直径パラメータkへの依存を排除すること。
• ε-ネットや領域分割といった幾何的技法が、非幾何的グラフの直径計算へも効果的に一般化可能かどうかを検証すること。

提案手法

• 定数VC次元の超図形において、強く部分線形な刺突数をもつスパニングパスの存在に基づく、新規なアルゴリズムフレームワークを提案する。
• ChazelleとWelzlの刺突数に関する理論的結果を応用し、ε-ネットと階層的クラスタリングを用いて、このようなパスを効率的に構築する。
• r-分割と境界頂点解析を用いた再帰的クラスタリング戦略を採用し、局所的およびグローバルな距離計算を管理する。
• 領域分割と区間被覆技術を用いて、各頂点uの距離2kᵢ₋₁以内の頂点集合を、スパニングパス上の刺突区間によって効率的に計算する。
• 直交範囲探索とスパニングパス上の動的計画法を組み合わせ、各頂点に対して近線形時間で全球的近傍集合を計算する。
• クラスタサイズrとクラスタ数のトレードオフを最適化することで、定数dに対して Õ(n²⁻εd) 時間を達成し、β < 1であるため真の部分二次時間となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H-マイナー自由グラフの直径は、木幅を超える構造的性質に基づき、真の部分二次時間で計算可能か？
• RQ2 距離VC次元のような、複数のスパースグラフクラスにおける直径計算の tractability を統一的に捉えるグラフパラメータが存在するか？
• RQ3 多項式拡張性と定数距離VC次元をもつグラフにおいて、直径パラメータkへの依存を排除できるか？
• RQ4 ε-ネットや低刺突数スパニングパスといった幾何的技法が、非幾何的グラフの直径計算へも効果的に一般化可能か？
• RQ5 このフレームワークは、重み付きグラフやVC次元が有界でないが効率的な直径計算が可能な他のグラフ族へも拡張可能か？

主な発見

• 距離VC次元がd以下の任意のグラフに対して、本稿はモンテカルロアルゴリズムを提示し、直径を Õ(k·mn¹⁻εd) 時間で計算可能であるか、直径がkを超えることを同定する。ここでεd ∈ (0,1) はdにのみ依存する。
• 本アルゴリズムは、定数距離VC次元をもつグラフにおいて真の部分二次時間で動作し、すべてのH-マイナー自由グラフおよび非稠密グラフクラスに適用可能である。
• 多項式拡張性と定数距離VC次元をもつグラフにおいて、kへの依存が排除され、真の部分二次時間の確率的アルゴリズムが得られる。
• 本手法は、半径計算に対しても同様の時間計算量で一般化可能である。
• r = Θ(n^(εd/(2−β))) のとき、実行時間が Õ(n²⁻εd) に最適化され、β < 1であるため、真の部分二次時間であることが示される。
• 本手法は、定数距離VC次元と強く部分線形なバランスの取れた分割集合をもつすべてのグラフクラスへも拡張可能であり、特に有界拡張性および適切なマイナー閉じたクラスが含まれる。