[論文レビュー] Diffeologies, Differential Spaces, and Symplectic Geometry

Jordan Watts|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、微分同相的空間と微分空間の共通部分がフレーリッヒャー空間と同型であることを確立し、商空間および分層空間における滑らかさ構造を統一的に扱う枠組みを提供する。微分同相的形式を幾何的およびシンプレクティックな商に適用し、スヤマールの形式およびオルビフォールド形式と同型であることを示し、滑らかな分層空間が局所的完全なベクトル場族を持つサブカルテジアン空間のフルな部分カテゴリをなすことを証明する。

ABSTRACT

Diffeological and differential spaces are generalisations of smooth structures on manifolds. We show that the "intersection" of these two categories is isomorphic to Frölicher spaces, another generalisation of smooth structures. We then give examples of such spaces, as well as examples of diffeological and differential spaces that do not fall into this category. We apply the theory of diffeological spaces to differential forms on a geometric quotient of a compact Lie group. We show that the subcomplex of basic forms is isomorphic to the complex of diffeological forms on the geometric quotient. We apply this to symplectic quotients coming from a regular value of the momentum map, and show that diffeological forms on this quotient are isomorphic as a complex to Sjamaar differential forms. We also compare diffeological forms to those on orbifolds, and show that they are isomorphic complexes as well. We apply the theory of differential spaces to subcartesian spaces equipped with families of vector fields. We use this theory to show that smooth stratified spaces form a full subcategory of subcartesian spaces equipped with families of vector fields. We give families of vector fields that induce the orbit-type stratifications induced by a Lie group action, as well as the orbit-type stratifications induced by a Hamiltonian group action.

研究の動機と目的

• 微分同相的空間、微分空間、フレーリッヒャー空間といった滑らかさ構造の一般化を、それらのカテゴリカルな共通部分によって統一すること。
• コンパクトなリー群の作用による幾何的商における微分同相的形式が、基本形式およびシンプレクティック減少におけるスヤマールの微分形式と同型であることを示すこと。
• 滑らかな分層空間が、局所的完全なベクトル場族を持つサブカルテジアン空間のフルな部分カテゴリをなすことの証明。
• リー群およびハミルトニアン群作用から誘導されるベクトル場族を構成し、軌道型の分層構造を回復すること。
• 微分同相的形式とオルビフォールド形式を比較し、それらが同型なコホモロジー複体をもたらすことを証明すること。

提案手法

• 開部分集合 R^n からの滑らかなプロット（写像）の族によって微分同相的空間を定義し、整合性と局所性を保証する。
• 実数値の滑らかな関数の族によって微分空間を定義し、制限について閉じており、シーヴ条件を満たすようにする。
• ベクトル場族を持つサブカルテジアン空間のカテゴリから、アトラスを持つ滑らかな多様体のカテゴリへの関手を構成する。
• 局所的微分同相写像と座標チャートを用いて、サブカルテジアン空間上の滑らかな関数が R^n 上の滑らかな関数の引き戻しとして得られることを示す。
• 主バンドル上の基本形式の理論を適用し、商空間上の微分同相的形式と同型であることを示す。
• サブカルテジアン空間上にベクトル場族を構成し、群作用から誘導される軌道型の分層構造を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相的空間と微分空間のカテゴリカルな共通部分は何か？ そしてフレーリッヒャー空間とどのように関係するか？
• RQ2 コンパクトなリー群の作用による幾何的商における微分同相的形式は、基本形式およびシンプレクティック減少におけるスヤマールの形式とどのように関係するか？
• RQ3 滑らかな分層空間は、局所的完全なベクトル場族を持つサブカルテジアン空間として完全に特徴付けられるか？
• RQ4 リー群作用から誘導されるベクトル場族は、商空間の軌道型の分層構造を再現するか？
• RQ5 オルビフォールド上の微分同相的形式は、標準的なオルビフォールドの de Rham コホモロジー複体と同型なコホモロジー複体をもたらすか？

主な発見

• 微分同相的空間と微分空間のカテゴリの共通部分は、フレーリッヒャー空間のカテゴリと同型である。
• コンパクトなリー群作用による幾何的商における微分同相的形式は、主バンドル上の基本微分形式の複体と同型である。
• モーメンタム写像の正則値におけるシンプレクティック減少において、商空間上の微分同相的形式は複体としてスヤマールの微分形式と同型である。
• オルビフォールド上の微分同相的形式は、標準的なオルビフォールド de Rham 複体と同型なコホモロジー複体をもたらす。
• 滑らかな分層空間は、局所的完全なベクトル場族を持つサブカルテジアン空間のフルな部分カテゴリをなす。
• リー群作用およびハミルトニアン群作用から誘導されるベクトル場族は、それぞれ商空間の軌道型の分層構造を生成する。