[論文レビュー] Diffeomorphisms with Liao-Pesin set

Wenxiang Sun, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、測度に依存しない位相的に定義された新しいフィルトレーションであるLiao-Pesinブロックと呼ばれるペジンブロックの新規な分割を導入することで、非一様な双曲的系に対する$C^1$ Liao-Pesin理論を確立した。これらのブロックは安定多様体定理と指数的シャドーイングを支え、準極限支配条件の下で$C^1$微分同相写像、特に非一様な中心双曲的性質を示す部分双曲的系に対しても、ペジン理論の主要結果（例えば、ハーシューフェ、エントロピー公式、リーヴシッツ定理）の一般化を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we mainly deal with an invariant (ergodic) hyperbolic measure $μ$ for a diffeomorphism $f,$ assuming that $f$ is just $C^1$ and for $μ$ a.e. $x$, the sum of Oseledec spaces corresponding to negative Lyapunov exponents (quasi-limit-)dominates the sum of Oseledec spaces corresponding to positive Lyapunov exponents at $x$. We generalize a certain of results of Pesin theory from $C^{1+α}$ to the $C^1$ system $ (f,μ)$, including a sufficient condition for existence of horseshoe, Livshitz theorem, exponential growth of periodic points, distribution of periodic points, periodic measures, horseshoes, nonuniform specification and lower semi-continuity of entropy function etc. In particular, they are applied for $C^1$ partially hyperbolic systems whose central bundle displays some non-uniform hyperbolicity, including some robust systems. Moreover, for some $C^1$ partially hyperbolic (not necessarily volume-preserving) systems, we get some information of Lebesgue measure on Average-nonuniform hyperbolicityand volume-non-expanding. A constructed machinery is developed for $C^1$ (not necessarily $C^{1+α}$) diffeomorphisms: new Pesin blocks is established topologically (independent on measures) such that every block has stable manifold theorem and simultaneously has exponential shadowing. The new construction, different with classical $C^{1+α}$ ones, is mainly inspired from Liao's quasi-hyperbolicity and so here we call new blocks by Liao-Pesin blocks and call the new established $C^1$ Pesin theory by $C^1$ Liao-Pesin Theory. Liao-Pesin set not only exists for invariant measures, but also exists for general probability measures, for example, Lebesgue measure (not assuming invariant) in some partially hyperbolic systems.

研究の動機と目的

• 古典的ペジン理論を$C^{1+\alpha}$から$C^1$微分同相写像へ、準極限支配条件の下で拡張すること。
• 測度に依存しない新たなペジンブロックのフィルトレーション（Liao-Pesinブロック）を構成し、安定多様体と指数的シャドーイングを支えること。
• 非一様双曲的性質の核心的結果（例：ハーシューフェ、エントロピー、リーヴシッツ定理）を、部分双曲的かつ非一様な中心的双曲的性質を示す$C^1$系へ一般化すること。
• 平均非一様双曲的性質の概念を用いて、$C^1$部分双曲的系におけるレベーグ測度に関する新たな知見を提供すること。

提案手法

• Liaoの準双曲的性質に基づく位相的フィルトレーションを用いて、Liao-Pesinブロックを導入し、不変測度に依存しない。
• 極限支配的分解と準双曲的性質を用いて、新たなペジン集合（Liao-Pesin集合）を定義し、ブロック上で一様双曲的であることを保証する。
• 各Liao-Pesinブロック上で、$C^1$微分同相写像に対して有効な安定多様体定理と指数的シャドーイング補題を確立する。
• 歪みを制御するブロックごとの線形化スキームを用いる：$\Phi_k = L_k + \phi_k$、ここで$L_k$はブロック構造を持ち、$\|\phi_k\|$および$Lip(\phi_k)$は一様に有界である。
• バナッハ空間におけるベクトル場の固定点定理を用いて、$d$-擬軌道に対する一様シャドーイング軌道の存在を証明する。
• 特定の部分双曲的系において、Liao-Pesin集合がレベーグ測度に関して完全測度を持つことを証明するが、測度が不変でない場合でも成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペジン理論の主要結果（例：ハーシューフェの存在、エントロピー公式）は、$C^{1+\alpha}$正則性を欠く$C^1$微分同相写像へも拡張可能か？
• RQ2 不変測度に依存せず、安定多様体と指数的シャドーイングを支えることができる位相的構成によるペジンブロックが存在するか？
• RQ3 Liao-Pesin集合は、一般の確率測度（特に不変でない状況下のレベーグ測度）における非一様双曲的性質を特徴づけるために用いられるか？
• RQ4 $C^1$部分双曲的系において、Liao-Pesin集合がレベーグ測度に関して完全測度を持つための条件は何か？
• RQ5 新しい理論は、非一様中心ダイナミクスを示す、安定的エルゴード的または体積非拡大$C^1$系にどのように適用可能か？

主な発見

• 準極限支配条件の下で、任意のエルゴード的双曲的測度$\mu$に対してLiao-Pesin集合が存在し、$C^1$系でも成立する。
• Liao-Pesinブロックは一様安定多様体定理と指数的シャドーイング補題を支え、周期軌道やハーシューフェの構成を可能にする。
• 理論はリーヴシッツ定理、エントロピー公式、非一様指定性を$C^1$系に一般化し、部分双曲的かつ非一様な中心的双曲的性質を示す系に適用可能である。
• 一部の$C^1$部分双曲的系において、Liao-Pesin集合は完全なレベーグ測度を持つことが示され、平均非一様双曲的性質と体積非拡大性を示唆する。
• 新しいフィルトレーションにより、Liao-Pesinブロック上での安定多様体のサイズが一様に下から有界であることが保証され、エントロピーの下半連続性および周期測度近似のための重要なステップとなる。
• シャドーイング補題により、$Hd$-シャドーイングが$H = 2R$で得られるが、ここで$R$は準双曲的性質のパラメータに依存し、周期軌道近似のロバスト性を保証する。