[論文レビュー] Difference equations and pseudo-differential operators on $\mathbb{Z}^n$

Linda N. A. Botchway, P. Gaël Kibiti+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、トーラス 𝕋ⁿ 上のフーリエ解析を周波数領域として用い、整数格子 ℤⁿ 上の擬微分作用素（以下、擬差分作用素と呼ぶ）のグローバルな微積分を構築する。符号的微積分、有界性、コンパクト性、シュレーディンガークラスへの属するための基準を確立し、格子 ℤⁿ 上の差分方程式に対する可解性、正則性推定、ガーディング型不等式の導出に応用する。

ABSTRACT

In this paper we develop the calculus of pseudo-differential operators on the lattice $\mathbb{Z}^n$, which we can call pseudo-difference operators. An interesting feature of this calculus is that the phase space is compact so the symbol classes are defined in terms of the behaviour with respect to the lattice variable. We establish formulae for composition, adjoint, transpose, and for parametrix for the elliptic operators. We also give conditions for the $\ell^2$, weighted $\ell^2$, and $\ell^p$ boundedness of operators and for their compactness on $\ell^p$. We describe a link to the toroidal quantization on the torus $\mathbb{T}^n$, and apply it to give conditions for the membership in Schatten classes on $\ell^2(\mathbb{Z}^n)$. Furthermore, we discuss a version of Fourier integral operators on the lattice and give conditions for their $\ell^2$-boundedness. The results are applied to give estimates for solutions to difference equations on the lattice $\mathbb{Z}^n$. Moreover, we establish Garding and sharp Garding inequalities, with an application to the unique solvability of parabolic equations on the lattice $\mathbb{Z}^n$.

研究の動機と目的

• 整数格子 ℤⁿ 上の擬微分作用素の包括的な微積分を確立すること。これは古典的擬微分作用素理論に類似しているが、離散的状況に適合させたものである。
• 周波数空間 𝕋ⁿ がコンパクトであることから、周波数微分の減衰性が不要となり、格子差分を用いた新しい符号的微積分が必要となるという課題に対処すること。
• ℓ²(ℤⁿ)、重み付き ℓ²(ℤⁿ)、および ℓᵖ(ℤⁿ)（1 < p < ∞）における有界性、コンパクト性、シュレーディンガークラスへの属するための十分条件を提供すること。
• 変数の役割を入れ替える双対性を介して、格子上の微積分をトーラス上での擬微分作用素理論に結びつけることにより、既知の結果の移行を可能にすること。
• 理論を応用し、放物型および楕円型を含む差分方程式に対する正則性推定および一意的可解性の基準を導出すること。

提案手法

• 空間変数 k ∈ ℤⁿ と周波数変数 x ∈ 𝕋ⁿ を用い、符号 σ(k,x) ∈ S^m(ℤⁿ × 𝕋ⁿ) によるフーリエ乗数作用素として、ℤⁿ 上の擬差分作用素を定義する。
• k における多項式成長と x における一様滑らかさを特徴とする符号クラスを用いて、符号的微積分（合成、随伴、転置）を確立する。k における微分の代わりに差分を用いる。
• ℤⁿ 上のフーリエ変換とその逆変換を用い、変数の双対性を介して、ℓ²(ℤⁿ) 上の作用素と 𝕋ⁿ 上のトーラス的擬微分作用素との関係を確立する。
• 振動位相 φ(k,x) を持つフーリエ級数作用素 T_{ℤⁿ}(φ,σ) を導入し、φ と σ が非退化性および滑らかさ条件を満たす場合に ℓ² 有界性を証明する。
• ガーディング不等式の枠組みを用いて、正の作用素に対する下界を導出し、これにより ℤⁿ 上の放物型差分方程式の一意的可解性を保証する。
• ゴーブァーレムとシュレーディンガー＝フォン・ノイマンのトレースクラス基準を用いて、ℓ²(ℤⁿ) 上の作用素がシュレーディンガークラスに属するための特徴づけを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周波数空間 𝕋ⁿ がコンパクトであることを踏まえ、整数格子 ℤⁿ 上の擬微分作用素に適した符号的微積分は何か？
• RQ2 擬差分作用素が ℓ²(ℤⁿ)、重み付き ℓ²(ℤⁿ)、および ℓᵖ(ℤⁿ)（1 < p < ∞）で有界であるための条件は何か？
• RQ3 トーラス上での擬微分作用素理論を、変数の役割を入れ替える双対性を介して、ℤⁿ 上の作用素の定義と解析にどのように適応できるか？
• RQ4 擬差分作用素が ℓ²(ℤⁿ) 上でコンパクトであるか、またはシュレーディンガークラスに属するための条件は何か？
• RQ5 放物型差分方程式の一意的可解性を保証するために、ℤⁿ 上でガーディング不等式およびシャープ・ガーディング不等式をどのように確立できるか？

主な発見

• 本稿は、合成、随伴、転置の公式を含む、ℤⁿ 上の擬差分作用素の完全な符号的微積分を構築した。符号クラス S^m(ℤⁿ × 𝕋ⁿ) は、k における多項式成長と x における滑らかさによって定義される。
• 式 (6.1) で定義される作用素 T⁻¹ は、Re(a) ≠ 0 または Im(a) ∉ [−2n, 2n) のとき、すべての s ∈ ℝ に対して ℓ²_s(ℤⁿ) 上で有界である。これは、g ∈ ℓ²_s(ℤⁿ) ならば f ∈ ℓ²_s(ℤⁿ) であることを保証する。
• 例 (3) の作用素 T の逆作用素は、明示的に T⁻¹g(k) = ∫_{𝕋ⁿ} e^{2πk·x} / (2i∑_{j=1}^n sin(2πx_j) + a) ⋅ ̂g(x) dx として与えられ、差分方程式 (6.1) の可解性が証明される。
• フーリエ級数作用素 T_{ℤⁿ}(φ,σ) は、σ が一様有界で、φ が非退化条件 |∇ₓφ(k,x) − ∇ₓφ(l,x)| ≥ C|k−l| を満たし、さらに φ と σ が滑らかである場合に ℓ²(ℤⁿ) 上で有界である。
• 例 (2) の作用素 B_j は、ν ≥ μ のとき、階数 ν の楕円型作用素である。方程式 |k|^μ(f(k+v_j)+1) − |k|^ν(f(k−v_j)+2) = g(k) の解 f は、g ∈ ℓ²_s(ℤⁿ) ならば f ∈ ℓ²_{s+ν}(ℤⁿ) を満たす。
• ℤⁿ 上でガーディング不等式が成立する：符号 σ(k,x) が実かつ非負ならば、関連する作用素は ⟨Tf, f⟩ ≥ −C‖f‖²_{ℓ²} を満たし、これにより ℤⁿ 上の放物型方程式の一意的可解性が保証される。