[論文レビュー] Differentiability of relative volumes over an arbitrary non-Archimedean field

Sébastien Boucksom, Walter Gubler+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、任意の非アーベル体上の幾何的に滑らかでない射影的スキーム上の豊富な線分束における連続的psh計量について、相対体積の微分可能性を確立する。これは、従来の離散的価値体における結果を拡張するものである。主な貢献は、相対体積の微分を非アーベルMonge–Ampère測度と結びつける変分公式を提供することであり、これにより非アーベルMonge–Ampère方程式の解法と、コhomologyの行列式およびDeligneペアリングを用いたFekete点の等分布結果の一般化が可能になる。

ABSTRACT

Given an ample line bundle $L$ on a geometrically reduced projective scheme defined over an arbitrary non-Archimedean field, we establish a differentiability property for the relative volume of two continuous metrics on the Berkovich analytification of $L$, extending previously known results in the discretely valued case. As applications, we provide fundamental solutions to certain non-Archimedean Monge--Amp\\`ere equations, and generalize an equidistribution result for Fekete points. Our main technical input comes from determinant of cohomology and Deligne pairings.

研究の動機と目的

• 離散的価値体から任意の非アーベル体への相対体積の微分可能性の拡張。
• 非アーベルMonge–Ampère方程式を解くための変分的アプローチの提供。
• 離散的価値体のケースを超えたFekete点の等分布結果の一般化。
• 任意の非アーベル体上のBerkovich幾何的文脈における相対体積の基礎的微分可能性性質の確立。
• 非ネーター的価値環をDeligneペアリングおよびコhomologyの行列式を用いて取り扱うこと。

提案手法

• 線分束および計量に加法的記法を用い、コhomologyノルムの対数比による相対体積を定義する。
• 非離散的価値体の設定において、非ネーター的価値環を取り扱うためにコhomologyの行列式およびDeligneペアリングを適用する。
• Abbes–BoucheおよびYuanの手法にインspiredされた変分的アプローチを採用し、アラケロフ幾何からの技術を拡張する。
• エンベロープの連続性およびpsh計量の直交性に依拠し、収束性および微分可能性を制御する。
• エンベロープの一様収束およびpsh計量の正則化の使用により、エネルギー関数の微分可能性を確立する。
• 非アーベルMonge–Ampère測度 $(dd^c\theta)^n$ を用いて、相対体積の微分を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対体積関数は、離散的価値体に限らず、任意の非アーベル体上でも微分可能であるか？
• RQ2 Monge–Ampère方程式を解くための変分的アプローチは、離散的価値体のケースを超えて拡張可能か？
• RQ3 相対体積の微分可能性は、非アーベルMonge–Ampère測度とどのように関係するか？
• RQ4 Deligneペアリングおよびコhomologyの行列式は、非ネーター的価値環を取り扱う際に果たす役割は何か？
• RQ5 Fekete点の等分布結果は、非離散的価値体の非アーベル体へ一般化可能か？

主な発見

• 任意の連続的psh計量において、相対体積関数は微分可能であり、その微分はテスト関数を非アーベルMonge–Ampère測度 $(dd^c\phi)^n$ に対して積分することで与えられる：$\frac{d}{dt}\big|_{t=0} \operatorname{vol}(L,\phi+tf,\phi) = \int_{X^{\mathrm{an}}} f \, (dd^c\phi)^n$。
• 変分的アプローチにより、非アーベルMonge–Ampère方程式の基本的解が構成され、$L$-正則点においては均衡計量 $\phi_x = \operatorname{P}(\{x\},\phi)$ が $V^{-1}(dd^c\phi_x)^n = \delta_x$ を満たす。
• 微分可能性の結果は、任意の完備非アーベル体上で成り立つ。これは、以前の結果が離散的または剰余体の特性が0の設定に限られていたのを拡張する。
• エネルギー関数 $\operatorname{E} \circ \operatorname{P}$ は、任意の連続的psh計量で微分可能であり、その微分はMonge–Ampère測度によって表現される。
• 証明はエンベロープの連続性およびエンベロープの一様収束に依拠しており、一般の非離散的価値体の場合における変分的議論の妥当性を保証する。
• エンベロープの連続性の仮定の下で、Fekete点の等分布結果は離散的価値体のケースを超えて一般化される。