[論文レビュー] Differentiable mappings between spaces of sections

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\sigma$-コンパクトかつ有限次元の多様体上に定義された$C^r$-ベクトル bundle 間のプッシュフォワード写像の微分可能性を確立し、自然な条件下で、コンパクト台付きでない$C^r$-セクションのプッシュフォワードが$C^k$-クラスに属することを示している。主な貢献は、$f$がファイバーを保存する滑らかな写像であるとき、$C^r(X,f)$および$\mathcal{D}^r(X,f)$が滑らか（または$\mathbb{K}$-解析的）な写像であることを証明することであり、これにより任意の滑らかまたは$\mathbb{K}$-解析的Lie群$G$に対して、$\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$をモデルとする$C^r(X,G)$にLie群構造を定めることができる。これらの結果は、無限次元のファイバーおよび非コンパクトな基底の場合に、便利な微分法およびKellerの$C^r_c$-理論を一般化する。

ABSTRACT

In this work, various versions of the so-called Omega-Lemma are provided, which ensure differentiability properties of pushforwrds between spaces of C^r-sections (or compactly supported C^r-sections) in vector bundles over finite-dimensional base manifolds whose fibres are (possibly infinite-dimensional) locally convex spaces. Applications are given, including the proof of continuity for some natural module multiplications on spaces of sections and the construction of certain infinite-dimensional Lie groups of Lie group-valued maps.

研究の動機と目的

• $\sigma$-コンパクトかつ有限次元の多様体上に定義された$C^r$-ベクトル bundle 間のセクション空間間の写像の微分可能性の性質を確立すること。
• $C^r$-ベクトル bundle $E\to X$ に対して、$C^r(X,E)$および$\mathcal{D}^r(X,E)$がそれぞれ$C^r(X)$および$\mathcal{D}^r(X)$を係数とする位相的モジュールであることを示すこと。
• 任意の滑らかまたは$\mathbb{K}$-解析的Lie群$G$に対して、$\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$をモデルとする$C^r(X,G)$に滑らか（または$\mathbb{K}$-解析的）なLie群構造を構成すること。
• Kellerの$C^r_c$-微分法を用いて、コンパクト台付きセクションのプッシュフォワードに関する既存の結果を、非コンパクトな基底および無限次元ファイバーに一般化すること。

提案手法

• Michal-Bastiani微分法（Kellerの$C^r_c$-理論）を用いて、セクション関数空間間の写像の微分可能性を定義する。
• 局所的自明化と分割を用いて、セクション空間に位相を定め、大域的問題を局所的問題に還元する。
• 局所座標とセミノルムを用いて、$f\circ\sigma$が$\sigma$に依存する様子を解析することで、プッシュフォワード$C^r(X,f)$が$C^k$-微分可能であることを確立する。
• 局所的チャートと近傍を用いて、テスト関数上の関連写像$h_*$の微分可能性を示すことにより、$\mathcal{D}^r(X,f)$が滑らか（または$\mathbb{K}$-解析的）であることを証明する。
• 左平行移動と共役を用いて、与えられたセクション$\gamma$の近傍における$C^r(X,f)$の微分可能性を、ゼロ近傍での関連写像$h_*$の微分可能性に還元する。
• $C^0$-ベクトル bundle を$\sigma$-コンパクトかつ局所コンパクトな空間にとる場合の証明を、チャートの代わりにコンパクト部分集合上の直接の上界を用いて適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Michal-Bastiani微分法の意味で、$C^r$-セクション空間間のプッシュフォワード写像$C^r(X,f)$がどの条件下で微分可能となるか。
• RQ2 $C^r$-写像$G$への空間$C^r(X,G)$が、$\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$をモデルとする滑らか（または$\mathbb{K}$-解析的）なLie群構造を備えられるか。
• RQ3 $f$がゼロセクションの近傍でのみ定義されている場合、$\mathcal{D}^r(X,f)$の微分可能性は定義域の性質にどのように依存するか。
• RQ4 $C^r(X,E)$が$C^r(X)$を係数とするモジュールとしての構造が、無限次元Lie理論の文脈で果たす役割は何か。
• RQ5 多様体から$\sigma$-コンパクトかつ局所コンパクトな空間へと一般化した場合、チャートの代わりに直接的な位相的推定を用いることで、結果を拡張できるか。

主な発見

• $X$が$\sigma$-コンパクトかつ有限次元であり、$f$がファイバーを保存する$C^r$-写像である限り、プッシュフォワード写像$C^r(X,f)$は$C^k$-クラスに属する。
• $C^r$-ベクトル bundle $E\to X$ に対して、コンパクト台付き$C^r$-セクションの空間$\mathcal{D}^r(X,E)$は、位相代数$\mathcal{D}^r(X)$を係数とする位相的モジュールである。
• 任意の$C^r$-ベクトル bundle $E\to X$ に対して、空間$C^r(X,E)$は$C^r(X)$-位相的モジュールである。
• 任意の滑らかまたは$\mathbb{K}$-解析的Lie群$G$に対して、群$C^r(X,G)$は$\mathcal{D}^r(X,\mathfrak{g})$をモデルとする滑らか（または$\mathbb{K}$-解析的）なLie群構造を備える。
• $f$がゼロセクションの近傍で定義され、かつ滑らか（または$\mathbb{K}$-解析的）である場合、写像$\mathcal{D}^r(X,f)$は滑らか（または$\mathbb{K}$-解析的）である。
• $C^0$-ベクトル bundle を$\sigma$-コンパクトかつ局所コンパクトな空間にとる場合、チャートの代わりにコンパクト部分集合上の直接の上界を用いることで、微分可能性が保たれ、結果が拡張される。