[論文レビュー] Differentiable Stacks and Gerbes

Kai Behrend, Ping Xu|arXiv (Cornell University)|May 27, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、微分可能スタック上の$S^1$-gerbeとリー群ガロアの$S^1$-中心拡大のモラita同値類の間の対応関係を確立し、特性類のためのチチェル・ヴェイル理論を展開するとともに、幾何学的およびリー代数的技法を用いて所定の曲率類似データを持つ$S^1$-中心拡大の構成を実現する。

ABSTRACT

We introduce differentiable stacks and explain the relationship with Lie groupoids. Then we study $S^1$-bundles and $S^1$-gerbes over differentiable stacks. In particular, we establish the relationship between $S^1$-gerbes and groupoid $S^1$-central extensions. We define connections and curvings for groupoid $S^1$-central extensions extending the corresponding notions of Brylinski, Hitchin and Murray for $S^1$-gerbes over manifolds. We develop a Chern-Weil theory of characteristic classes in this general setting by presenting a construction of Chern classes and Dixmier-Douady classes in terms of analogues of connections and curvatures. We also describe a prequantization result for both $S^1$-bundles and $S^1$-gerbes extending the well-known result of Weil and Kostant. In particular, we give an explicit construction of $S^1$-central extensions with prescribed curvature-like data.

研究の動機と目的

• 微分可能スタック上の$S^1$-gerbeの幾何学的理論を構築し、多様体上のブリリニスキーおよびヒチンの研究を一般化すること。
• 微分可能スタック${\mathfrak{X}}$上の$S^1$-gerbeとリー群ガロアの$S^1$-中心拡大のモラita同値類の間の一対一対応を確立すること。
• この文脈に適応したチチェル・ヴェイル理論を拡張し、接続と曲率の類似物を用いて特性類を構成すること。
• 所定の擬曲率データを持つ$S^1$-中心拡大の明示的構成を提供すること。
• 古典的なヴェイル・コスタントの前量子化結果を、微分可能スタック上の$S^1$-gerbeへ一般化すること。

提案手法

• スタックがリー群ガロアのモラita同値類として定義されることを根拠に、微分可能スタックとリー群ガロアの間の辞書を用いる。
• リー群ガロアの$S^1$-中心拡大のモラita同値類を用いて、微分可能スタック${\mathfrak{X}}$上の$S^1$-gerbeを定義する。
• 基本群ガロアから中心拡大への幾何的データの持ち上げを通じて、$S^1$-中心拡大に対する接続と曲率を定義する。
• リー代数的技法を用いて、$S^1$-中心拡大の統合可能性および曲率条件を分析する。
• 分布${\mathcal{D}}_s$および${\mathcal{D}}_t$内のベクトル場のフローを用いて、$R_2$上にグラフとして得られる埋め込まれた部分多様体$\widetilde{\Lambda}$を構成し、拡大構造の整合性を保証する。
• 条件$\widetilde{\Theta} = 0$を$\widetilde{\Lambda}$上で満たすことで、拡大の統合可能性および曲率の異常なしを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分可能スタック上の$S^1$-gerbeは、リー群ガロア構造の観点からどのように幾何的に実現可能か？
• RQ2 $S^1$-gerbeとリー群ガロアの$S^1$-中心拡大の間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 微分可能スタックおよび$S^1$-gerbeの文脈において、チチェル・ヴェイル型理論を構築できるか？
• RQ4 所定の曲率類似データを持つ$S^1$-中心拡大を構成するための条件は何か？
• RQ5 $S^1$-gerbeの前量子化条件は、古典的なヴェイル・コスタントの結果をスタックへどのように一般化するか？

主な発見

• $H^2({\mathfrak{X}}, S^1)$と微分可能スタック${\mathfrak{X}}$上のリー群ガロアの$S^1$-中心拡大のモラita同値類の間には、自然な全単射が存在する。
• 微分可能スタック上の$S^1$-gerbeは、リー群ガロアの$S^1$-中心拡大のモラita同値類と一対一に対応する。
• 分布${\mathcal{D}}_s$および${\mathcal{D}}_t$内のベクトル場のフローを用いて、$R_2$上にグラフとして得られる埋め込まれた部分多様体$\widetilde{\Lambda}$を定義することで、所定の擬曲率を持つ$S^1$-中心拡大を構成する。
• $\widetilde{\Lambda}$上で$\widetilde{\Theta} = 0$となる条件は、曲率類似データの整合性および統合可能性を保証し、構成の妥当性を裏付ける。
• 基本群ガロアのリー代数的構造から持ち上げたベクトル場のフローを用いることで、所定の曲率を持つ$S^1$-中心拡大の構成が達成される。
• この結果により、古典的なヴェイル・コスタントの前量子化を$S^1$-gerbeがスタック上に拡張され、ディクシエ・ドゥアディ類の幾何的実現が中心拡大を通じて与えられる。