[論文レビュー] Gerbes on complex reductive Lie groups

Jean-Luc Brylinski|ArXiv.org|Feb 19, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、複素再帰的リー群 $G$ 上に、$G$ の各対 $(g,B)$ に付随するグロテンディーク多様体上の gerbe からの幾何的降下を用いて、正則的かつ共役に関する不変性を持つ gerbe を構成する。この構成は、$W$-不変な双線形形式 $b$ をパラメータとして持ち、その形式は量子化条件を満たす。この構成により、$G$ のコンpakトな実形式 $K$ 上に自然な gerbe が得られ、既知の Chern-Simons gerbe を一般化する。

ABSTRACT

We construct a gerbe over a complex reductive Lie group G attached to an invariant bilinear form on a maximal diagonalizable subalgebra which is Weyl group invariant and satisfies a parity condition. By restriction to a maximal compact subgroup K, one then gets a gerbe over K. For a simply-connected group, the parity condition is the same used by Pressley and Segal; in general, it was introduced by Deligne and the author. The gerbe is defined by geometric methods, using the so-called Grothendieck manifold. It is equivariant under the conjugation action of G; its restriction to a semisimple orbit is not always trivial. The paper starts with a discussion of gerbe data (in the sense of Chatterjee and Hitchin) and of gerbes as geometric objects (sheaves of groupoids); the relation between the two approaches is presented. There is an Appendix on equivariant gerbes, discussed from both points of view.

研究の動機と目的

• コンパクトで単連結なリー群 $K$ 上の標準的 gerbe の有限次元的幾何的構成を、ループ群の中心拡大に依存せずに与えること。
• 単連結でないものを含む任意の複素再帰的群 $G$ に対し、標準的 gerbe の構成を一般化すること。
• 双線形形式 $b$ という組合せ的データを用いて、$G$ 上に正則的かつ $G$-不変な gerbe を定義すること。この構成は、対 $(g,B)$ のグロテンディーク多様体 $\tilde{G}$ からの降下に基づく。
• gerbe が半単純軌道に制限されたときに常に自明でないことが示され、gerbe 理論における torsion 現象を明らかにすること。
• gerbe 的な手法と群値層の圏的アプローチを、不変 gerbe 及びその接続の体系的取り扱いを通じて統一すること。

提案手法

• 最大トーラス $T$ 上の特徴の引き戻しと旗多様体 $G/B$ 上の $G$-不変ラインバンドルを用いて、グロテンディーク多様体 $\tilde{G} = \{(g,B) \mid g \in G, B \text{ ボレル部分群}, g \in B\}$ 上に gerbe $\tilde{\mathcal{C}}$ を構成する。
• 自然な射影 $\tilde{G} \to G/B$ および $\tilde{G} \to T$ を用いて、$\tilde{G}$ 上の gerbe データによるカップ積構成により $\tilde{\mathcal{C}}$ を定義する。
• まず $G^{\text{reg}}$、つまり正則な半単純元の開・稠密部分集合に制限し、$\tilde{G} \to G^{\text{reg}}$ が $W$、Weyl 群をガロア群とするガロア被覆であることに着目して、$\tilde{\mathcal{C}}$ を $G^{\text{reg}}$ に降下させる。
• $b$ が $W$-不変であると仮定し、降下理論を用いて $G^{\text{reg}}$ 上に gerbe $\mathcal{C}$ を構成し、その後、コhomology的技法を用いて $G$ 全体に拡張する。この拡張は $SL(2,\mathbb{C})$ の場合に還元可能である。
• codimension-2 の特異点は、層論的拡張技法を用いて取り扱い、gerbe が $G$ 全体で正しく定義されることを保証する。このとき、すべてのコルート $\alpha$ に対して $b(\check{\alpha}, \check{\alpha})$ が偶数であることの条件が必要である。
• gerbe $\mathcal{C}$ に $0$-接続を定義するが、完全な $1$-接続（微分幾何的構造）はまだ予想段階であり、明示的な構成は行われていない。また、gerbe 同値および自然変換による $G$-作用の不変構造を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、無限次元的なループ群の構成を避けて、有限次元的幾何的データのみを用いて、複素再帰的リー群 $G$ 上に標準的正則 gerbe を構成できるか？
• RQ2 最大トーラスのコキャラクターラティス上での双線形形式 $b$ が、関連する $\tilde{G}$ 上の gerbe が $G$ 上に正しく定義された gerbe に降下するための条件は何か？
• RQ3 $G^{\text{reg}}$ から $G$ 全体への gerbe の拡張の障害は何か？ そして、コhomology的降下を用いてそれをどのように乗り越えるか？
• RQ4 なぜ gerbe が半単純軌道に制限されたときに常に自明でないのか？ そして、これは再帰的群上の gerbe の torsion 構造にどのような含意を持つのか？
• RQ5 不変 gerbe の文脈において、群値層の圏的アプローチと gerbe データのアプローチはどのように関係し、統合できるか？

主な発見

• グロテンディーク多様体 $\tilde{G}$ 上の gerbe からの降下を用いて、$G$ 上に正則的 gerbe $\mathcal{C}$ を構成した。この構成は、$W$-不変な双線形形式 $b$ をパラメータとして持ち、その形式は量子化条件を満たす。
• この構成により、$G$ 上に共役に関する不変性を持つ gerbe が得られ、$G$ のコンパクトな実形式 $K \subset G$ に制限すると、正しく定義され、不変な gerbe が得られる。これは既知の標準的 Chern-Simons gerbe を一般化する。
• gerbe が半単純軌道に制限されたときに常に自明でないことが示され、gerbe の位相的構造における非自明な torsion 現象を示している。
• gerbe は $0$-接続を備えるが、完全な $1$-接続（微分幾何的構造）はまだ予想段階であり、明示的な構成はなされていない。
• この方法により、$K$ 上の標準的 gerbe が有限次元的幾何的実現として得られ、ベースド・ループ群 $\Omega K$ の中心拡大に依存しない。これは有限次元的モーメント写像理論と整合する。
• この構成は群 $H$（中心を除いて $G$ と等しい）の作用に関して不変であり、得られた gerbe は $G$ の作用と、gerbe 同値および自然変換を用いた、結合条件を満たす構造と整合する。