[論文レビュー] Differential Batalin-Vilkovisky algebras arising from twilled Lie-Rinehart algebras

Johannes Huebschmann|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、twilled Lie-Rinehart代数と微分Batalin-Vilkovisky (dBV) 代数を結びつける微分ホモロジー代数の枠組みを確立し、Koszulの正確な生成子と平坦接続の間の対応を一般化する。また、ほぼ複素構造が可積分であることは、関連するGerstenhaber代数が微分Gerstenhaber代数となることと同値であり、Calabi-Yau多様体上の正則体積形式とdBV代数生成子を用いてTian-Todorov補題の概念的証明を提示する。

ABSTRACT

Twilled L(ie-)R(inehart)-algebras generalize, in the Lie-Rinehart context, complex structures on smooth manifolds. An almost complex manifold determines an "almost twilled pre-LR algebra", which is a true twilled LR-algebra iff the almost complex structure is integrable. We characterize twilled LR structures in terms of certain associated differential (bi)graded Lie and G(erstenhaber)-algebras; in particular the G-algebra arising from an almost complex structure is a d(ifferential) G-algebra iff the almost complex structure is integrable. Such G-algebras, endowed with a generator turning them into a B(atalin-)V(ilkovisky)-algebra, occur on the B-side of the mirror conjecture. We generalize a result of Koszul to those dG-algebras which arise from twilled LR-algebras. A special case thereof explains the relationship between holomorphic volume forms and exact generators for the corresponding dG-algebra and thus yields in particular a conceptual proof of the Tian-Todorov lemma. We give a differential homological algebra interpretation for twilled LR-algebras and by means of it we elucidate the notion of generator in terms of homological duality for differential graded LR-algebras.

研究の動機と目的

• twilled Lie-Rinehart代数の文脈において、Koszulの正確な生成子と平坦接続の間の対応を一般化すること。
• 形式上の微分Gerstenhaber代数構造を用いて、ほぼ複素構造の可積分性を特徴付けること。
• twilled Lie-Rinehart代数から生じるdBV代数の生成子に対するホモロジー双対性の解釈を提供すること。
• Calabi-Yau多様体上の正則体積形式とdBV代数構造を用いて、Tian-Todorov補題の概念的証明を提示すること。
• twilled Lie-Rinehart代数に関連するdG代数において、正則体積形式と正確な生成子の間の全単射対応を確立すること。

提案手法

• Alt_A(L'', Λ_A L') と Alt_A(D, A) 間の同型を用いて、twilled Lie-Rinehart代数の外積代数から双次数付きGerstenhaber代数を構成する。
• Alt_A(L'', Λ_A L') 上のLie-Rinehart微分 d'' を用いて、双次数付きGerstenhaber代数への微分を定義する。
• L' ⊕ L''* と L'' ⊕ L'* 間の双対性を用いて、Lie-Rinehart双代数構造と微分Gerstenhaber代数条件を関連付ける。
• 付随する同型 (4.1.1) と (4.1.2) を用いて、同型な双次数付き A-代数間でGerstenhaber括弧と微分を移行する。
• 双次数付きGerstenhaber代数構造が生じるのは、もとのほぼtwilled Lie-Rinehart代数が真のtwilled代数である場合に限ることを示す。
• Lie-Rinehart双代数と微分が付加された代数の間の双対性を用いて、生成子をホモロジー双対性の観点から解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼtwilled Lie-Rinehart代数が真のtwilled Lie-Rinehart代数となる条件は何か？
• RQ2 ほぼ複素構造の可積分性は、関連する形式上の微分Gerstenhaber代数構造とどのように関係するか？
• RQ3 Calabi-Yau多様体の文脈において、正則体積形式は、関連する微分Gerstenhaber代数の正確な生成子を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 Koszulの正確な生成子と平坦接続の間の対応は、twilled Lie-Rinehart代数へどのように一般化されるか？
• RQ5 twilled Lie-Rinehart代数から生じる微分Batalin-Vilkovisky代数の生成子に対するホモロジー双対性の解釈は何か？

主な発見

• ほぼtwilled Lie-Rinehart代数が真のtwilled Lie-Rinehart代数であることは、関連する双次数付きGerstenhaber代数が微分Gerstenhaber代数であることと同値である。
• Alt_A(L'', Λ_A L') 上の微分Gerstenhaber代数構造が生じるのは、(A, L, D) がLie-Rinehart双代数であるときである。
• Calabi-Yau多様体上の正則体積形式は、関連する微分Gerstenhaber代数の正確な生成子を誘導し、それによって微分Batalin-Vilkovisky代数に変換する。
• Tian-Todorov補題は、dG代数枠組みにおける正則体積形式と正確な生成子の間の対応を用いて概念的に証明される。
• 本稿はKoszulの定理を一般化し、twilled Lie-Rinehart代数の文脈において正確な生成子と正則体積形式の間の全単射対応を示す。
• dBV代数の生成子は、微分が付加されたLie-Rinehart代数枠組みにおけるホモロジー双対性条件に対応する。