[論文レビュー] Differential Characters on Orbifolds and String Connections I

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe|ArXiv.org|Nov 2, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、グローバル商オルビフォールド $[M/G]$ に対して、チーバー＝シモンズコホロジーとベイリンソン＝デリーニュコホロジーの同型を確立し、微分特性理論をオルビフォールドへ一般化する。また、グローバルなゲルベと接続から、オルビフォールドのループ群ガルード上にストリング接続を構成し、関連する微分特性を精緻化し、セガルの枠組みをオルビフォールド設定へ拡張する。

ABSTRACT

In this paper we introduce the Cheeger-Simons cohomology of a global quotient orbifold. We prove that the Cheeger-Simons cohomology of the orbifold is isomorphic to its Beilinson-Deligne cohomology. Furthermore we construct a string connection (à la Segal) from a global gerbe with connection over the loop orbifold, refining the corresponding differential character.

研究の動機と目的

• オルビフォールド、特にグローバル商オルビフォールド $[M/G]$ における微分特性を定義・研究し、多様体からのチーバー＝シモンズ理論を一般化すること。
• このようなオルビフォールドにおいて、チーバー＝シモンズコホロジーとベイリンソン＝デリーニュコホロジーの同型を確立し、滑らかな多様体における古典的結果を一般化すること。
• グローバルなゲルベと接続から、オルビフォールドのループ群ガルード上にストリング接続を構成し、関連する微分特性を精緻化すること。
• セガルのストリング接続の概念を、ゲルベと接続からのトランスグレッションを用いて、オルビフォールド設定へ拡張すること。
• 高次ゲージ理論とコホロロジー的構造を通じて、オルビフォールドの弦理論における $B$-場と離散的ねじれを理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 多様体の場合を一般化して、等長構造と群ガルード作用を用いることで、オルビフォールド $[M/G]$ におけるチーバー＝シモンズコホロジーを定義する。
• 接続付き $(q-2)$-ゲルベの holonomy を用いて、次数 2 の線束 holonomy を一般化した微分特性を構成する。
• ループ群ガルードの群ガルード構造を用いて、$[M/G]$ 上のゲルベと接続を、ループ群ガルード $\mathcal{L}[M/G]$ 上の線束と接続へトランスグレッションする。
• 表面 $P$ の境界をもつ、接続 2-形式 $B$ の積分を含む holonomy 機能を用いて、トランスグレッションされた線束上にストリング接続 $\mathcal{U}$ を定義する。
• ストリング接続が $G$-作用と整合するように、ストークスの定理と接続形式の等長性を用いて整合性を保証する。
• ストリング接続 $\mathcal{U}$ が、ループ群ガルード上の既存の接続 $\Delta$ およびグルーピングデータ $F$ と整合し、適切なベイリンソン＝デリーニュコサイクルをなすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分特性は、特にグローバル商オルビフォールド $[M/G]$ の設定において、どのように一般化可能か？
• RQ2 滑らかな多様体において成立するように、オルビフォールドにおいてもチーバー＝シモンズコホロジーとベイリンソン＝デリーニュコホロジーの間の自然な同型が存在するか？
• RQ3 オルビフォールド上にグローバルなゲルベと接続が与えられたとき、セガルの意味でのストリング接続を構成できるか？
• RQ4 ループ群ガルード上のストリング接続は、ゲルベに付随する微分特性をどのように精緻化するか？
• RQ5 $G$-作用と等長性は、ループ群ガルード上での一貫した holonomy および接続構造を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• オルビフォールド $[M/G]$ のチーバー＝シモンズコホロジーは、自然にそのベイリンソン＝デリーニュコホロジーと同型であり、多様体の場合の古典的結果を一般化する。
• $[M/G]$ 上のグローバルなゲルベと接続は、トランスグレッションを介して、ループ群ガルード $\mathcal{L}[M/G]$ 上の線束と接続を誘導する。
• ゲルベと接続は、リーマン面上の $\Gamma$-主バンドル $P$ に対して $\mathcal{U}_{\Phi} = \exp\left(\frac{\sqrt{-1}}{|\Gamma|}\int_P \Phi^*B\right)$ で定義されるストリング接続 $\mathcal{U}$ をトランスグレッションされた線束上に与える。
• ストリング接続 $\mathcal{U}$ は、ストークスの定理と接続 1-形式の等長性を用いて、ループ群ガルード上の $G$-作用と整合することが確認された。
• ストリング接続 $\mathcal{U}$ は、既存の接続 $\Delta$ およびグルーピングデータ $F$ と整合し、ループ群ガルード上で適切に定義されたベイリンソン＝デリーニュコサイクルをなす。
• この構成は、セガルのストリング接続をオルビフォールドへ一般化し、ゲルベの曲率と holonomy データを両方とも含む精緻化された holonomy 構造を提供する。