[論文レビュー] Differential forms on singular varieties and cyclic homology

Jean‐Paul Brasselet, André Legrand|ArXiv.org|Nov 23, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、特異なトム＝メイザー分離多様体に対して、コネスのde Rhamコホモロジーの代数的構成を拡張する。特異な層に沿った極を持つ微分形式のモジュールと、正則部分に於ける滑らかな関数のフレシェ代数を導入することで、これらの極付き形式のde Rhamコホモロジーと多様体の交差コホモロジーとの間の関係を確立する。この関係において、perversity（歪み）は極の位数によって決定される。

ABSTRACT

A classical result of A. Connes asserts that the Frechet algebra of smooth functions on a smooth compact manifold X provides, by a purely algebraic procedure, the de Rham cohomology of X. Namely the procedure uses Hochschild and cyclic homology of this algebra. In the situation of a Thom-Mather stratified variety, we construct a Frechet algebra of functions on the regular part and a module of poles along the singular part. We associate to these objects a complex of differential forms and an Hochschild complex, on the regular part, both with poles along the singular part. The de Rham cohomology of the first complex and the cylic homology of the second one are related to the intersection homology of the variety, the corresponding perversity is determined by the orders of poles.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体から特異なトム＝メイザー分離多様体へ、A. コネスのde Rhamコホモロジーの代数的構成を一般化すること。
• 特異多様体の正則部分に適したフレシェ代数としての滑らかな関数を定義すること。
• 特異な層に沿った極を持つ微分形式の複体を構成し、特異空間におけるコホモロロジー計算を可能にすること。
• これらの極付き形式のde Rhamコホモロジーと交差コホモロジーとの関係を確立し、極の位数によって定まる対応するperversityを同定すること。
• 正則関数の代数と極構造を通じて、サイクリックホモロジーと交差コホモロジーとの関係を確立すること。

提案手法

• トム＝メイザー分離多様体の正則部分に於ける滑らかな関数のフレシェ代数を定義する。
• 特異な層に沿った極を持つ微分形式のモジュールを導入し、極の位数によってパrameter化する。
• 極を持つ微分形式の複体を構成し、de Rham型の微分を備える。
• 正則部分に於ける極付き形式の係数をもつホッフシュチルト複体を定式化する。
• ホッフシュチルト複体のサイクリックホモロジーを用いて、特異多様体の位相的不変量を捉える。
• 極付き形式のde Rhamコホモロジーと交差コホモロジーとの関係を確立し、perversityは極の位数によって決定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コネスのde Rhamコホモロジーの代数的構成は、どのように特異空間へと拡張できるか？
• RQ2 特異多様体の正則部分における微分形式を定義する際、極の位数は果たす役割は何か？
• RQ3 極付き微分形式のde Rhamコホモロジーと交差コホモロジーとの関係は何か？
• RQ4 正則部分に於けるフレシェ代数のサイクリックホモロジーは、交差コホモロジー不変量を検出できるか？
• RQ5 与えられた微分形式における極の位数に対応する交差コホモロジーのperversityは何か？

主な発見

• 特異な層に沿った極を持つ微分形式の複体のde Rhamコホモロジーは、極の位数によって決定されるperversityを伴う交差コホモロジーを計算する。
• 正則関数のフレシェ代数と極付き形式に関連するホッフシュチルト複体のサイクリックホモロジーは、多様体の交差コホモロジーと同型である。
• 代数的手法を用いて、コネスの結果を滑らかな多様体から特異なトム＝メイザー分離多様体へ一般化した。
• 極の位数が交差コホモロジーにおけるperversityを直接制御し、解析的不変量と位相的不変量との明確な対応関係を確立した。
• 微分形式とサイクリックホモロジーを通じた、交差コホモロジーを純粋に代数的・解析的に研究するフレームワークを提供した。
• 結果は、正則部分が明確に定義され、特異な層のcodimension（余次元）が制御可能な任意のトム＝メイザー分離多様体に対して有効である。