[論文レビュー] Structured singular manifolds and factorization homology

David Ayala, John Francis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、所定の特異性を有する多様体（特異的多様体）における因子化ホモロジーのフレームワークを導入する。これは、古典的な因子化ホモロジーを滑らかでない特異的空間へ一般化したものである。モノイダル化されたエイレンバーグ＝シューデンロード公理の一般化を確立し、特異的多様体における非可換ペインカーレ双対性を証明するとともに、カホヴァノフホモロジーに類似した絡み目およびリンクホモロジー理論を3次元多様体上に構成する。

ABSTRACT

We provide a framework for the study of structured manifolds with singularities and their locally determined invariants. This generalizes factorization homology, or topological chiral homology, to the setting of singular manifolds equipped with various tangential structures. Examples of such factorization homology theories include intersection homology, compactly supported stratified mapping spaces, and Hochschild homology with coefficients. Factorization homology theories for singular manifolds are characterized by a generalization of the Eilenberg-Steenrod axioms. Using these axioms, we extend the nonabelian Poincaré duality of Salvatore and Lurie to the setting of singular manifolds -- this is a nonabelian version of the Poincaré duality given by intersection homology. We pay special attention to the simple case of singular manifolds whose singularity datum is a properly embedded submanifold and give a further simplified algebraic characterization of these homology theories. In the case of 3-manifolds with 1-dimensional submanifolds, this structure gives rise to knot and link homology theories akin to Khovanov homology.

研究の動機と目的

• 特異性を有する多様体およびその局所的決定される不変量を体系的に研究するためのフレームワークを開発すること。
• 従来滑らかな多様体に対して定義されていた因子化ホモロジーを、接構造を備えた構造的特異的多様体の設定へ一般化すること。
• エイレンバーグ＝シューデンロード公理のモノイダル一般化を通じて、サルバトリオとルリーの非可換ペインカーレ双対性を特異的多様体へ拡張すること。
• 特異性が適切に埋め込まれた部分多様体である場合に、特異的多様体のための因子化ホモロジー理論の代数的特徴付けを提供すること。
• このフレームワークを用いて、3次元多様体における絡み目およびリンクホモロジー理論を構成し、カホヴァノフホモロジーを一般化すること。

提案手法

• 特異的多様体の圏 $\mathsf{Snglr}_{n,k}$ を導入し、ここで $k$ は特異性の深さを表す。
• 特異的多様体における埋め込みおよび滑らかな埋め込み族の概念を定義し、古典的微分位相幾何学を一般化する。
• 局所性および切除条件を満たす、特異的多様体からチェイン複体への共変的割り当てとして因子化ホモロジーを構成する。
• 一般化された切除性を含む、エイレンバーグ＝シューデンロード公理のモノイダル一般化を通じて因子化ホモロジーを特徴付ける。
• 特異性が適切に埋め込まれた部分多様体である場合に、理論が簡略化された代数的記述を有することを示す。
• 理論を用いて、$\mathbb{R}^3$ 内の1次元部分多様体の因子化ホモロジーを通じて、3次元多様体における絡み目およびリンクホモロジーを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして因子化ホモロジーを、所定の接構造を有する特異的多様体へ拡張できるか？
• RQ2 因子化ホモロジーの局所性および切除性の性質を捉えるために、エイレンバーグ＝シューデンロード公理を一般化するどの公理的枠組みが必要か？
• RQ3 滑らかな場合の一般化として、特異的多様体に対して非可換ペインカーレ双対性を確立できるか？
• RQ4 特異性が適切に埋め込まれた部分多様体である場合に、因子化ホモロジーを特徴付ける代数的構造は何か？
• RQ5 これらの構成はどのようにして3次元多様体における絡み目およびリンクホモロジー理論を生じさせ、カホヴァノフホモロジーと関係するか？

主な発見

• 本論文は、モノイダル化されたエイレンバーグ＝シューデンロード公理の一般化を満たす、構造的特異的多様体のための因子化ホモロジー理論を構成した。
• 特異的多様体に対して非可換ペインカーレ双対性を確立し、サルバトリオとルリーの滑らかな場合の結果を一般化した。
• 特異性が適切に埋め込まれた部分多様体である特異的多様体に対しては、因子化ホモロジー理論が簡略化された代数的記述を有する。
• 3次元多様体に1次元部分多様体が埋め込まれた場合、理論はカホヴァノフホモロジーに類似した絡み目およびリンクホモロジー理論を生じる。
• このフレームワークにより、非コンパクトおよび特異的多様体へとトポロジカル量子場理論を局所的不変量を通じて拡張できる。
• 理論は、特異的空間上の摂動的量子場理論における観測関数の自然な設定を提供し、コスティロ＝グウィリアム形式を一般化する。