[論文レビュー] Differential Geometry of Gerbes

Lawrence Breen, William Messing|ArXiv.org|Jun 11, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、gerbeの微分幾何学のためのグローバルで組み合わせ的な枠組みを構築し、接続、曲率データ、および高階のビアンキ恒等式を満たす3次曲率形式を導入する。合成微分積分学を用いて、従来の主バンドル上の接続をgerbeへ一般化し、非アーベルgerbeでは「偽曲率」項が必要であることが明らかになる。これにより、3次曲率方程式は、自明な一般化とは異なるビアンキ恒等式と異なるものとなる。

ABSTRACT

We define in a global manner the notion of a connective structure for a gerbe on a space X. When the gerbe is endowed with trivializing data with respect to an open cover of X, we describe this connective structure in two separate ways, which extend from abelian to general gerbes the corresponding descriptions due to J.- L. Brylinski and N. Hitchin. We give a global definition of the 3-curvature of this connective structure as a 3-form on X with values in the Lie stack of the gauge stack of the gerbe. We also study this notion locally in terms of more traditional Lie algebra-valued 3-forms. The Bianchi identity, which the curvature of a connection on a principal bundle satisfies, is replaced here by a more elaborate equation.

研究の動機と目的

• 主バンドル上の接続と曲率の理論を、グローバルかつ幾何的に意味のある方法でgerbeへ拡張すること。
• 接続と曲率構造を持つgerbeに対して、高階曲率形式（3次曲率）を定義し、接続の曲率を一般化すること。
• 非アーベルgerbeに生じる複雑さを解消するため、「偽曲率」項を導入し、ビアンキ恒等式を修正すること。
• A. Kockの組み合わせ的微分積分学を用いて、全理論を定式化することで、複雑なカテゴリカル構造を単純化すること。
• Lie代数値微分形式としての局所的記述を提供し、gerbeのČechコycle記述と整合性を持つこと。

提案手法

• A. Kockの合成微分積分学を採用し、無限小構造を単体的対象と組み合わせ的恒等式でモデル化する。
• gerbe上の接続は、無限小的に近接する点の上のファイバーカテゴリ間の関手として定義され、平行移動の一般化である。
• 曲率データは、無限小2単体回りの高階平行移動として導入され、構造群のLie代数値2形式として記述される。
• 3次曲率は、無限小3単体の面における曲率の整合性の欠如としての障害として定義される。
• 非可換接続における逆元の一意性の欠如により、3次曲率方程式に「偽曲率」項が補正項として現れる。
• 局所的自明化を用いて、グローバル構造をLie代数値微分形式に翻訳し、重なり領域での整合性条件を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 gerbe上の接続を、主バンドルにおける平行移動の概念を一般化する方法で定義するにはどうすればよいか？
• RQ2 gerbeに対して正しい曲率およびビアンキ恒等式の一般化は何か？また、アーベルの場合とはどのように異なるか？
• RQ3 非アーベルgerbeの3次曲率方程式に、アーベルの場合に存在しない追加の「偽曲率」項が含まれる理由は何か？
• RQ4 合成微分積分学を用いることで、gerbe上の接続および曲率構造の構造をどのように単純化・明確化できるか？
• RQ5 局所的コサイクルおよびコボンドの役割は、曲率データを伴うgerbeの接続的構造を記述する上で果たすか？

主な発見

• 接続および曲率構造を持つgerbeの3次曲率は、高階のビアンキ恒等式を満たし、3単体上の障害の引き戻しが4単体上で整合的であることを示す。
• 非アーベルgerbeでは、3次曲率方程式に「偽曲率」項が含まれ、自明なビアンキ恒等式の一般化とは異なる。
• 組み合わせ的微分積分学を用いてグローバルに理論を定式化したため、複雑なカテゴリカル構造が明確になり、計算的に取り扱いやすくなった。
• 接続および曲率の局所的記述には、2形式（曲率）に加え、補助的な低次の形式も含まれており、gerbeの非可換性を反映している。
• gerbe上にグローバルな接続的構造を構成することは、非可換群値のČechコサイクルに曲率データを拡張した選択に等しい。
• gerbeの接続的構造に付随するLie代数値形式は、特定のコサイクルおよびコボンド条件を満たし、gerbeのČechコホモロジー記述を一般化する。