[論文レビュー] Differential geometry of the space of orbits of a Coxeter group

Boris Dubrovin|ArXiv.org|Mar 27, 1993

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、特異点の普遍展開に依存せずに、Grothendieckの残差を用いて、有限コクセター群のための2次元位相的場理論（TFT）を構成する。具体的には、軌道空間 $ M = V/W $ 上に、内在的な微分幾何的構造—特に、残差ペアリングとフォロービウス代数構造—を導出する。主な貢献は、軌道空間上でのGrothendieckの残差に対する内在的公式を提供することであり、これにより $ M $ は多項式フォロービウス多様体構造によって完全に微分幾何的に特徴付けられる。

ABSTRACT

Differential-geometric structures on the space of orbits of a finite Coxeter group, determined by Grothéndieck residues, are calculated. This gives a construction of a 2D topological field theory for an arbitrary Coxeter group.

研究の動機と目的

• 有限コクセター群 $ W $ の軌道空間 $ M = V/W $ 上の微分幾何的構造を、特異点の普遍展開に依存しない、内在的かつ座標フリーな記述を提供すること。
• SaitoとArnol’dが提起した、周期写像および不変量の畳み込みの内在的特徴付けに関する長年の問題を解決すること。
• 残差ペアリングおよび関連するフォロービウス代数構造を、$ A_n $ の場合に限らない任意のコクセター群へ拡張すること。
• 軌道空間 $ M $ に対する完全な微分幾何的特徴付けを確立し、最終的に多項式フォロービウス多様体構造を構成すること。

提案手法

• 無限遠点におけるGrothendieckの残差を用いて、接 bundle $ TM $ 上の残差ペアリングを導出する：$ (u,v)_x = \mathrm{res}_{z=\infty} \frac{\dot{f}(z;x(s_1)) \dot{f}(z;x(s_2))}{f'(z;x)} $、ここで $ f(z;x) $ は特異点の普遍展開である。
• 三重線形形式 $ c(u,v,w)_x = \mathrm{res}_{z=\infty} \frac{\dot{f}(z;x(s_1)) \dot{f}(z;x(s_2)) \dot{f}(z;x(s_3))}{f'(z;x)} $ を定義し、これにより $ T_xM $ 上に単位元をもつ可換かつ結合的な積構造を誘導する。
• 関係式 $ c(u,v,w) = (u\cdot v, w) $ を用いて、ペアリングと積を用いて高次多線形形式を代数的に表現する。
• $ R = \mathbb{C}[x^1,\dots,x^n] $ に対して、$ \mathrm{Der}\,R $ 上にLevi-Civita接続と次数および内積との整合性条件を定義することにより、多項式フォロービウス多様体構造を構成する。
• フォロービウス多様体公理を導出と $ R $-加群構造の観点から代数的に再定式化し、次数および非退化内積と整合性を保つようにする。
• 特異点の普遍展開への言及を避け、代わりに軌道空間の内在的幾何に依存することで、残差ペアリングおよび計量の内在的性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コクセター群の軌道空間上でのGrothendieckの残差ペアリングは、特異点の普遍展開に依存せずに、内在的に定義可能か？
• RQ2 残差構成によって誘導される、軌道空間 $ M = V/W $ 上の微分幾何的構造—特に計量と積—は、どのように内在的に特徴付けられるか？
• RQ3 不変多項式環上の微分と次数付き加群を用いて、軌道空間上のフォロービウス多様体構造を代数的にどのように特徴付けられるか？
• RQ4 周期写像およびその像は、不変量の畳み込みと残差ペアリングを用いて、どの程度内在的に公理化可能か？
• RQ5 軌道空間の内在的幾何のみを用いて、任意の有限コクセター群のための2次元位相的場理論を構成可能か？

主な発見

• 任意の有限コクセター群に対して、特異点の普遍展開を必要としない、軌道空間 $ M = V/W $ 上でのGrothendieckの残差に対する内在的公式が導出された。
• 残差ペアリングは、接 bundle $ TM $ 上に非退化的かつ対称的かつ平坦な計量を定義し、特異点論における消失サイクルの交差形式と一致する。
• 各点 $ x \in M $ における接空間には、単位元をもつ可換かつ結合的な代数構造が誘導され、これは $ \mathbb{C}[z]/(f'(z;x)) $ に同型である。
• 高次多線形形式 $ c_k $ は、積とペアリングを用いて代数的に表現され、$ c_k(u_1,\dots,u_k) = (u_1 \cdot \cdots \cdot u_{k-1}, u_k) $ と表され、2次元TFTの因子化則と整合的である。
• 軌道空間 $ M $ は、次数付き非退化内積、平坦なLevi-Civita接続、および整合性のある積構造を持つ、$ \mathbb{Q} $ 上の多項式フォロービウス多様体構造を備える。
• 本構成により、SaitoとArnol’dが提起した周期写像および不変量の畳み込みの内在的記述に関する問題が完全に解決された。