[論文レビュー] Differential Operator Algebras on compact Riemann Surfaces

Martin Schlichenmaier|Open Repository and Bibliography (University of Luxembourg)|Nov 5, 1993

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなリーマン面の任意の genus に対して、Virasoro および Krichever-Novikov代数を一般化する。特異点の有限集合を除いて正則な、メロモーフィック微分作用素の代数を構成し、in/out点の分割による次数を導入することで、ほぼ階数付きのリー代数構造を確立する。中心拡大と半無限楔表現を研究し、明示的なコサイクルとヴェルマモジュール実現を伴う、共形場理論代数の高 genus 版を導出する。

ABSTRACT

Invited talk at the International Symposium on Generalized Symmetries in Physics at the Arnold-Sommerfeld-Institute, Clausthal, Germany, July 26 -- July 29, 1993. This talk reviews results on the structure of algebras consisting of meromorphic differential operators which are holomorphic outside a finite set of points on compact Riemann surfaces. For each partition into two disjoint subsets of the set of points where poles are allowed, a grading of the algebra and of the modules of lambda - forms is introduced. With respect to this grading the Lie structure of the algebra and of the modules are almost graded ones. Central extensions and semi-infinite wedge representations are studied. If one considers only differential operators of degree 1 then these algebras are generalizations of the Virasoro algebra in genus zero, resp. of Krichever Novikov algebras in higher genus.

研究の動機と目的

• 種数 0 の Virasoro 代数を、任意の genus のコンパクトなリーマン面へ一般化すること。
• 特異点の有限集合（in-および out-点）を除いて正則な、メロモーフィック微分作用素の代数を構成すること。
• 極集合を in-点および out-点に分割することにより、λ-形式のモジュールおよび代数に次数を導入すること。
• これらの代数に対する中心拡大および半無限楔表現を研究すること。
• 非-twistedアフィン Kac-Moody代数の高 genus 版およびその表現を確立すること。

提案手法

• コンパクトなリーマン面 X 上で、極が有限集合 A = I ∪ O（in-点および out-点）に限られる微分作用素代数 Dλ(A) を定義する。
• 分割 (I,O) を用いて Dλ(A) および λ-形式のモジュールに次数を導入し、ほぼ階数付きのリー代数構造を導く。
• 極が指定された留数および purely imaginary な周期を持つメロモーフィック微分形式 ρ の留数から導かれる局所コサイクルを用いて、代数の中心拡大を構成する。
• 代数を無限行列のリー代数 gl(∞) に埋め込み、半無限楔空間 Hλ(A) 上での作用を正則化する。
• gl(∞) 上の標準コサイクルの引き戻しを用いて、Hλ(A) 上での正則化された中心拡大作用を定義し、クリフォード代数構造と整合性を保つ。
• λ-形式上のペアリング (9) を用いて、重み λ および 1−λ の左および右半無限楔形式の間のペアリングを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形場理論への応用を目的として、複素数の genus g ≥ 1 で複数の穴あきを持つコンパクトなリーマン面に対して、Virasoro 代数をどのように一般化できるか？
• RQ2 極集合が in-点および out-点に分割されたとき、どのような次数構造が出現し、リー代数構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 高 genus のリーマン面における微分作用素代数に対する中心拡大の形は何か？
• RQ4 これらの代数に対する半無限楔表現はどのように構成できるか？また、ほぼ階数付き構造はその構成にどのような役割を果たすか？
• RQ5 非-twistedアフィン Kac-Moody代数の高 genus 版は何か？また、それらは半無限形式にどのように作用するか？

主な発見

• 極が有限集合 A = I ∪ O に集中するコンパクトなリーマン面上の微分作用素代数 Dλ(A) は、分割 (I,O) に関してほぼ階数付きである。これは、種数 0 における Virasoro 代数の一般化である。
• 局所コサイクルを用いて Dλ(A) の中心拡大を構成し、中心元はヴェルマモジュール上で (−2)(6λ² − 6λ + 1) 倍の単位演算子として作用する。
• 中心拡大された代数の作用を、gl(∞) への埋め込みにより正則化することで、半無限楔表現 Hλ(A) を構成する。コサイクルは gl(∞) 上の標準コサイクルを引き戻したものである。
• 中心拡大された代数 D¹(A) の Hλ(A) 上での作用は、b-c システムを用いた楔積および微分作用素によるクリフォード代数構造と整合性を保つ。
• トーラス（g=1）の場合、2点、3点、4点のケースについて明示的な計算を実施し、代数的幾何の技法を用いてリーマン面の退化を検討する。
• この構成により、高 genus のリーマン面上における中心拡大された微分作用素代数の最高重量表現の一貫性ある枠組みが得られ、共形場理論が高 genus へと拡張される。