[論文レビュー] Sugawara Construction and Casimir Operators for Krichever-Novikov Algebras

Martin Schlichenmaier, О. К. Шейнман|ArXiv.org|Dec 18, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、高 genus の Krichever-Novikov代数への Sugawara 構成の一般化を行い、最高重みモジュールから中心拡大 Krichever-Novikov ベクトル場代数の表現を導出する。重み関係を確立し、Casimir 演算子を構成することで、古典的 Virasoro 代数の結果を高 genus の設定に拡張し、付録では多点構造を含む。

ABSTRACT

We show how to obtain from highest weight representations of Krichever-Novikov algebras of affine type (also called higher genus affine Kac-Moody algebras) representations of centrally extended Krichever-Novikov vector field algebras via the Sugawara construction. This generalizes classical results where one obtains representations of the Virasoro algebra. Relations between the weights of the corresponding representations are given and Casimir operators are constructed. In an appendix the Sugawara construction for the multi-point situation is done.

研究の動機と目的

• 古典的アフィン Kac-Moody代数から、高 genus の Krichever-Novikov代数への Sugawara 構成の拡張を目的とする。
• アフィン型の Krichever-Novikov代数の最高重みモジュールから、中心拡大 Krichever-Novikov ベクトル場代数の表現を導出する。
• 元のアフィン代数の表現の重みと、得られるベクトル場代数の表現の重みとの間の明示的な関係を確立する。
• 中心拡大 Krichever-Novikov ベクトル場代数の Casimir 演算子を構成する。
• 多点設定への構成の一般化を図り、付録に多点 Sugawara 構成についての詳細を含む。

提案手法

• Krichever-Novikov代数のアフィン型の最高重み表現を出発点として用いる。
• Sugawara 構成を適用して、中心拡大 Krichever-Novikov ベクトル場代数の新しい表現を生成する。
• Sugawara 構成を介して、元のアフィン代数の表現と得られるベクトル場代数の表現との間の重み関係を導出する。
• Sugawara 公式と表現論的技法を用いて、中心拡大 Krichever-Novikov ベクトル場代数の Casimir 演算子を構成する。
• 複数のマークド点を持つリーマン面に適応した Sugawara 公式を用いて、多点ケースへの構成を拡張する。
• 特に高 genus のリーマン面の文脈において、代数幾何学と表現論の道具を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Virasoro 代数から高 genus の Krichever-Novikov代数への Sugawara 構成をどのように一般化できるか？
• RQ2 アフィン Krichever-Novikov代数の最高重み表現の重みと、得られるベクトル場代数の表現の重みとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 Sugawara 法を用いて中心拡大 Krichever-Novikov ベクトル場代数の Casimir 演算子を構成できるか？
• RQ4 高 genus のリーマン面上の多点設定において、Sugawara 構成はどのように振る舞うか？
• RQ5 Sugawara 構成を Krichever-Novikov代数へ拡張することによる構造的および表現論的意味は何か？

主な発見

• Sugawara 構成は、アフィン Krichever-Novikov代数の最高重みモジュールから、中心拡大 Krichever-Novikov ベクトル場代数の表現を効果的に生成する。
• 元のアフィン代数の表現の重みと、得られるベクトル場代数の表現の重みとの間の明示的関係が導出された。
• 中心拡大 Krichever-Novikov ベクトル場代数の Casimir 演算子が構成され、古典的ケースが高次元に一般化された。
• 多点設定への構成が一般化され、詳細は付録に記載された。
• アフィン代数からベクトル場代数への移行において、代数的構造と表現論的性質が高 genus の文脈で保持された。