[論文レビュー] Differential Operators and Families of Automorphic Forms on Unitary Groups of Arbitrary Signature

Ellen Eischen, Jessica Fintzen+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の符号性をもつunitary群上のp進微分作用素およびp進自動形式の族を構築し、q展開の不在を補うためにSerre–Tate展開を用いる。p進測度をp進自動形式値をとるものとして構成し、Eisenstein級数の補間を証明する。これにより、(n,n)でない符号性への既存の研究の拡張が達成され、p進L関数の新規構成が可能になる。

ABSTRACT

In the 1970's, Serre exploited congruences between $q$-expansion coefficients of Eisenstein series to produce $p$-adic families of Eisenstein series and, in turn, $p$-adic zeta functions. Partly through integration with more recent machinery, including Katz's approach to $p$-adic differential operators, his strategy has influenced four decades of developments. Prior papers employing Katz's and Serre's ideas exploiting differential operators and congruences to produce families of automorphic forms rely crucially on $q$-expansions of automorphic forms. The overarching goal of the present paper is to adapt the strategy to automorphic forms on unitary groups, which lack $q$-expansions when the signature is of the form $(a, b)$, $a eq b$. In particular, this paper completely removes the restrictions on the signature present in prior work. As intermediate steps, we achieve two key objectives. First, partly by carefully analyzing the action of the Young symmetrizer on Serre--Tate expansions, we explicitly describe the action of differential operators on the Serre--Tate expansions of automorphic forms on unitary groups of arbitrary signature. As a direct consequence, for each unitary group, we obtain congruences and families analogous to those studied by Katz and Serre. Second, via a novel lifting argument, we construct a $p$-adic measure taking values in the space of $p$-adic automorphic forms on unitary groups of any prescribed signature. We relate the values of this measure to an explicit $p$-adic family of Eisenstein series. One application of our results is to the recently completed construction of $p$-adic $L$-functions for unitary groups by the first named author, Harris, Li, and Skinner.

研究の動機と目的

• SerreとKatzの合同式および微分作用素を用いたp進自動形式族の構成戦略を、(n,n)符号性でない場合へ拡張すること。
• q展開が存在しない非-(n,n)符号性をもつunitary群において、q展開の代替としてSerre–Tate展開を導入することにより、その欠如を克服すること。
• 任意の符号性をもつunitary群に対してEisenstein級数を補間するp進測度を、p進自動形式値をとる形で構成すること。
• recently [EHLS16] で完了されたunitary群のp進L関数の構成のための基盤的ツールを提供すること。
• Serre–Tate座標および微分作用素を用いて、p進q展開原理をunitary群へ一般化すること。

提案手法

• unitary群上の自動形式に対してq展開の代わりに、自然な座標をもつ通常のCM点におけるSerre–Tate展開を用いる。
• Gauss–Manin接続およびKodaira–Spencer準同型を用いて、p進微分作用素がSerre–Tate展開に作用する様子を分析する。
• p進測度をXp × T(Zp) 上に、p進自動形式値をとる形で、新規の持ち上げ補題を用いて構成する。
• 抽象的Kummer合同式を用いて整数性と補間性を保証する、Serre–Tate展開に適応したp進q展開原理に依拠する。
• 微分作用素の像を、既約な最高重量表現に射影することで、自動形式の補間を定義する。
• Hecke指標およびp進指標を用いて、測度の積分とスケーリングされたEisenstein級数との間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q展開が存在しない場合、unitary群上の自動形式に対してp進微分作用素をどのように定義し計算できるか。
• RQ2 任意の符号性(a,b)（a ≠ b）をもつunitary群に対して、合同式およびp進自動形式族を構成できるか。
• RQ3 Serre–Tate展開が、補間および微分作用素の作用においてq展開の代替として果たす役割は何か。
• RQ4 任意の符号性に対して、p進家族全体を通じてEisenstein級数を補間するp進測度をどのように構成できるか。
• RQ5 Serre–Tate座標および微分作用素を用いて、p進q展開原理がunitary群へどの程度一般化可能か。

主な発見

• 本稿は、任意の符号性をもつunitary群上の自動形式のSerre–Tate展開におけるp進微分作用素の作用を明示的に記述する。
• p進自動形式の空間に値をとるXp × T(Zp) 上のp進測度µG′ を構成し、∫Xp×T(Zp) ˜χψκµG′ = resΘκGk,ν,Fχu,ψ を満たす。
• 純粋なH′-対称的重量κに対して、測度の積分はEisenstein級数Gk,ν,Fχu,ψ,κ を正確に回復する。
• 符号性(n,n)に対する既存のp進家族の結果を任意の符号性へ一般化し、以前の制限を排除する。
• 微分作用素および最高重量成分への射影を用いて、周期を除き、通常のCM点における自動形式の値のp進補間が可能になる。
• 本研究は、[EHLS16] で最近完了されたunitary群のp進L関数の構成のための重要な技術的基盤を提供する。