[論文レビュー] p-adic L-functions for unitary groups, part II: zeta-integral calculations

Ellen Eischen, Michael Harris+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Advanced Algebra and Geometry被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、p進L関数の構成に不可欠な計算を完了し、Euler積における局所zeta積分（特に素数pにおけるものも含む）を計算することで、unitary群のp進L関数の構成に向けた重要な一歩を踏み出した。また、第III部における完全な構成に不可欠な幾何的枠組みを発展させ、Eisenstein測度および最近の数論的結果を統合した。

ABSTRACT

This paper completes key steps toward a construction of $p$-adic $L$-functions for unitary groups. More precisely, in 2006, the last three authors proposed an approach to constructing $p$-adic $L$-functions for unitary groups. Building on more recent results, including the first author's construction of Eisenstein measures, the present paper provides the calculations of local $\zeta$-integrals occurring in the Euler product (including at $p$) and also continues to develop the substantial geometric framework that will be necessary for concluding the construction of $p$-adic $L$-functions in Part III.

研究の動機と目的

• unitary群のp進L関数のEuler積における局所zeta積分の計算を完了すること。
• 素数pにおける局所積分を全体のEuler積構造に統合すること。
• 第III部におけるp進L関数の完全な構成に不可欠な幾何的枠組みを拡張すること。
• 第一著者のEisenstein測度の構成を含む最近の進展を、zeta積分枠組みに統合すること。
• 最終的なp進L関数において、p進位を含むすべての場所における局所因子の整合性と適合性を保証すること。

提案手法

• 表現論的およびp進解析的手法を用いて、すべての有限場（特に素数pを含む）における局所zeta積分を計算する。
• Eisenstein測度の理論を適用し、L関数のp進補間性質を制御する。
• 先行研究で開発された幾何的枠組みを活用し、zeta積分を算術的商およびShimura多様体の観点から解釈する。
• 自動形式およびL関数の理論を用いて、zeta積分と標準L関数の特別値とを関連付ける。
• 積分のp進的変動の詳細な解析を通じて、すべての場所における局所因子の適合性を確立する。
• p進モジュラー形式およびコhomological構成に関する最近の結果に依拠し、積分が適切に定義され、p進的に補間可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 unitary群のp進L関数構成の文脈において、素数pにおける局所zeta積分をどのように計算できるか。
• RQ2 p進L関数のEuler積におけるpにおける局所因子の正確な構造は何か。
• RQ3 有限場（pを含む）におけるzeta積分が、どのように一貫したp進L関数を形成するか。
• RQ4 zeta積分計算の背後にある幾何的およびコhomological構造は何か。また、p進補間を支える根拠は何か。
• RQ5 Eisenstein測度をどのように用いて、zeta積分のp進的挙動を制御し、補間性質を保証できるか。

主な発見

• 本稿は、素数pにおける局所zeta積分を計算し、p進L関数のEuler積におけるその役割を確認した。
• pにおける局所積分が、unitary群のグローバルEuler積構造と適合することを確立した。
• 第III部におけるp進L関数の構成を支援するため、幾何的枠組みが発展された。
• 計算結果はEisenstein測度の理論と整合しており、p進補間の基盤を提供した。
• すべての場所（pを含む）におけるzeta積分が適切に定義され、p進解析的接続に適していることが保証された。
• 2006年に提唱されたunitary群のp進L関数の完全な構成に向けた主要な技術的ステップを完了した。