[論文レビュー] Differential Poisson Sigma Models with Extended Supersymmetry

Cesar Arias, Per Sundell+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、微分的ポアソン多様体上の誘導された $\mathcal{N}=1$ スーパーポissonシグマ模型が、双次数超多様体 $T[0,1]M$ 上のより広範な誘導ポアソンシグマ模型の特別な場合であることを示している。$\mathcal{N}=1$ スーパーシンメトリーは、拡張された微分的ポアソン括弧とド・ラーム微分の整合性から生じる。主な貢献は、$T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上に $\mathcal{Q}$-正確な共変ハミルトニアン作用を構成したことであり、そこから $M$ 上のキリングベクトルが誘導する $(0,-1)$-双次数超ベクトル場から新たな拡張されたスーパーシンメトリーが出現する。

ABSTRACT

The induced two-dimensional topological N=1 supersymmetric sigma model on a differential Poisson manifold M presented in arXiv:1503.05625 is shown to be a special case of the induced Poisson sigma model on the bi-graded supermanifold T[0,1]M. The bi-degree comprises the standard N-valued target space degree, corresponding to the form degree on the worldsheet, and an additional Z-valued fermion number, corresponding to the degree in the differential graded algebra of forms on M. The N=1 supersymmetry stems from the compatibility between the (extended) differential Poisson bracket and the de Rham differential on M. The latter is mapped to a nilpotent vector field Q of bi-degree (0,1) on T*[1,0](T[0,1]M), and the covariant Hamiltonian action is Q-exact. New extended supersymmetries arise as inner derivatives along special bosonic Killing vectors on M that induce Killing supervector fields of bi-degree (0,-1) on T*[1,0](T[0,1]M).

研究の動機と目的

• 微分的ポアソン多様体上の $\nmathcal{N}=1$ スーパーポソンシグマ模型が、双次数超多様体上でのより一般的な誘導ポアソンシグマ模型の特別な場合であることを示すこと。
• 多様体 $M$ 上で、拡張された微分的ポアソン括弧とド・ラーム微分の整合性に基づく $\nmathcal{N}=1$ スーパーシンメトリーの起源を明確にすること。
• $T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上に $\nmathcal{Q}$-正確な共変ハミルトニアン作用を構成すること、ここで $\nmathcal{Q}$ は双次数 $(0,1)$ の冪零ベクトル場である。
• ボソン的キリングベクトルが $M$ 上に存在する場合、それらが位相空間超多様体上に $(0,-1)$-双次数の超ベクトル場を誘導する内導分作用素として新たな拡張スーパーシンメトリーを同定すること。
• 局所ポincare補題と $\nmathcal{Q}$-作用素の共変局所コホモロジーを用いて、モデルのコホモロジカル構造を確立すること。

提案手法

• モデルは双次数超多様体 $T[0,1]M$ 上に定式化され、形式次数とフェルミオン数を組み合わせた階数構造により、ターゲット空間の形式が関数に写像される。
• 多様体 $M$ 上の微分形式の代数に、ド・ラーム微分と整合的で、$\nmathcal{N}=1$ スーパーシンメトリーを誘導する拡張された微分的ポアソン括弧を定義する。
• $T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上に共変ハミルトニアン作用を構成し、$\nmathcal{Q}$-正確であることを示す。ここで $\nmathcal{Q}$ は双次数 $(0,1)$ の冪零ベクトル場である。
• 局所座標を用いて作用とスーパーシンメトリー変換を表現し、$\nmathcal{Q}$-閉および $\nmathcal{Q}$-正確な形式への明示的依存関係を示す。
• キリングベクトルが誘導する $(0,-1)$-双次数超ベクトル場から、拡張スーパーシンメトリーを導出し、それらに関連する対称性変換を内導分作用素により得る。
• 局所ポincare補題によるコホモロジカル解析により、$\nmathcal{Q}$-閉形式はゲージ自由度の下で $\nmathcal{Q}$-正確であることが示され、$\noverline{\nmathcal{Q}}\nmathcal{G}=0$ を満たすゲージ選択が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分的ポアソン多様体上の $\nmathcal{N}=1$ スーパーポソンシグマ模型は、双次数超多様体上でのより広範な誘導ポアソンシグマ模型のクラスとどのように関係しているか？
• RQ2 この文脈において、$\nmathcal{N}=1$ スーパーシンメトリーの幾何学的・代数的起源は何か？
• RQ3 $T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上の共変ハミルトニアン作用はどのように構成され、なぜ $\nmathcal{Q}$-正確であるのか？
• RQ4 $M$ 上のキリングベクトルは、モデルにおける新たな拡張スーパーシンメトリーを生成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 特に局所ポincare補題を用いたコホモロジカル構造により、$\nmathcal{Q}$-閉形式の $\nmathcal{Q}$-正確性がどのように保証されるか？

主な発見

• $\nmathcal{N}=1$ スーパーポソンシグマ模型が、双次数超多様体フレームワークに完全に埋め込まれた $T[0,1]M$ 上の誘導ポアソンシグマ模型の特別な場合であることが示された。
• $\nmathcal{N}=1$ スーパーシンメトリーは、多様体 $M$ 上の拡張された微分的ポアソン括弧とド・ラーム微分の整合性から生じ、$T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上に双次数 $(0,1)$ の冪零ベクトル場 $\nmathcal{Q}$ が誘導される。
• $T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上の共変ハミルトニアン作用は $\nmathcal{Q}$-正確であることが証明され、BRSTに類似した不変性と一貫した量子化を保証する。
• 新たな拡張スーパーシンメトリーは、$M$ 上のボソン的キリングベクトルに沿った内導分作用素として生成され、位相空間超多様体上に $(0,-1)$-双次数の超ベクトル場を誘導する。
• コホモロジカル解析により、任意の $\nmathcal{Q}$-閉形式 $\nmathcal{F}$ は $\nmathcal{Q}$-正確であることが示され、$\noverline{\nmathcal{Q}}\nmathcal{G}=0$ を満たすゲージ選択が可能である。これは物理的状態が $\nmathcal{Q}$-コホモロジーによって決定されることを示唆する。
• $\nmathcal{Q}$-閉形式の一般解 $\nmathcal{F}_{(q)}$ が $\nmathcal{Q}\nmathcal{G}_{(q)}$ と表され、$\noverline{\nmathcal{Q}}\nmathcal{G}_{(q)}=0$ を満たすことが示された。これにより、コホモロジカル構造の整合性が確認された。